Echemos un general de la función $f(x)$, podemos hacer un resumen como:
$$\sum_{k=m}^n f(k)$$
Y podemos hacer una integración como:
$$\int_a^bf(k)dk$$
La diferencia básica entre los dos la operación es que el primero sólo se refiere a los valores enteros de $k$, mientras que el segundo es acerca de los verdaderos valores de la función en un intervalo. Así que mi pregunta es: ¿hay una operación similar que se refiere racional de los valores ? Algo "entre" suma y la integración.
La respuesta corta es sí, pero no es un concepto fácil. La respuesta se encuentra con la definición de la integral y medidas. La idea de medir es asignar un tamaño de subconjuntos de los reales, y el uso de esta idea del tamaño para realizar la integración (entre otras cosas). La primera cosa a tener en cuenta es que hay diferentes formas de asignar una medida para subconjuntos de los reales. Algunas medidas se comportan de la forma en que se puede esperar de ellos en el que el tamaño del intervalo $(a,b)$ $b$, independientemente de lo que $a$ y $b$ son. Otras medidas se comportan de manera diferente. Por ejemplo, usted podría decir que la medida de un conjunto es el número de números enteros contenidos en el mismo. Bajo esta definición de una medida, la suma y la integración de convertirse en la misma cosa. También podemos definir una medida que toma en cuenta sólo los números racionales y realizar la integración con respecto a esa medida.
En resumen, la integración es un concepto abstracto. El estándar integral enseñado en introductorios de cálculo es un tipo de integral, y el tipo de integral que usted describe es sólo un tipo diferente (como es de suma).
Para obtener más información sobre este tema consulte aquí para obtener información sobre las medidas, y aquí para una explicación de cómo la integración se define de manera abstracta, utilizando medidas.
Sus ejemplos pueden ser viewd como casos particulares de una teoría general de la integración, a saber, la integración de Lebesgue. De hecho:
Si $X=\{m,m+1,...,n\}$, $\mu$ es el recuento de medida y $f$ es positivo, entonces $$\int_X f\ d\mu=\sum_{k=m}^nf(k).$$
Si $X=[a,b]$, $\mu$ es la medida de Lebesgue y $f$ es continua, entonces $$\int_X f\ d\mu=\int_a^bf(k)\ dk,$$ donde la integral en el lado derecho es la integral de Riemann.
Desde este punto de vista, la respuesta a tu pregunta es sí y la deseada "operación similar" también es un caso particular de la integración de Lebesgue. Explícitamente:
Ejemplo: Si $\mu$ es la medida de Lebesgue y $f$ es Lebesgue medible, entonces $$\int_\mathbb{Q} f\ d\mu=0.$$
Sólo para seguir en algo inspirado por juan-mangual la respuesta:
En primer lugar, uno puede saber que los racionales de $\mathbb{Q}$ son contables y por lo tanto puede ser enumerados por los enteros positivos de $\mathbb{N}$. Vamos a elegir una enumeración de $\mathbb{Q}=\{q_1,q_2,q_3,\ldots\}$. Ahora vamos a $f:\Bbb R \rightarrow \Bbb R$ que es definido en $\mathbb{Q}$ (o restringir a un subconjunto si es necesario), entonces podemos sumar sobre los racionales por su enumeración, es decir, $$\sum\limits_{i=1}^\infty f(q_i).$$
Ahora, a menos que la anterior suma converge absolutamente, ya que en menos que $$\sum\limits_{i=1}^\infty |f(q_i)| <\infty,$$
a continuación, el valor de esta serie puede depender de la enumeración de $\mathbb{Q}$, y aún peor, debido a un teorema de Riemann para lo que es llamado condicionalmente convergente la serie, si reorganizar los términos que usted puede hacer que la serie converge para todo lo que te gusta!
Sin embargo, si lo hace convergen absolutamente, a continuación, la suma es independiente de la forma en que elegimos a la orden de los racionales, y nos pueden sumar en cualquier orden.
Tal vez esto le dará otra visión de algo más que usted puede hacer, y ya que yo realmente no conozco a ninguna teoría de la medida no te puedo ayudar en ese frente!
No estoy seguro de que mi respuesta es totalmente pertinente... Ler de tener una oportunidad, sin embargo.
Ambos casos que usted proporcione puede ser interpretado como de distribución. La integral es una distribución con una "densidad constante".
$$\sum_{k=m}^n f(k)$$ es también una distribución con peine de Dirac para la densidad.
Se puede imaginar una distribución con "las masas" sólo en los números racionales, que corresponderá a su solicitud.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
