Término de error de la función de renovación

Question

Consideremos una secuencia de $[0,1]$ variables aleatorias, y para reales no negativas $t$ , dejemos que $m(t)$ es el número esperado de términos de la primera suma parcial que supera $t$ . Por ejemplo, se dice que $m(1)=e$ lo que significa que necesitamos por término medio $e$ términos para obtener la suma superior a 1. De la teoría de la renovación se deduce que para grandes $t$ , $$m(t) = 2t + 2/3 + o(1),$$ pero

¿Cómo se produce el error $m(t) - (2t+2/3)$ ¿comportarse?

En particular,

Puede $m(t)$ expresarse como $$m(t) = 2t + \sum_{\gamma_i}C_ie^{\gamma_i t},$$ donde $\gamma_i$ son las raíces complejas de la ecuación $1-\gamma = e^{-\gamma}$ ?

Empecé a pensar en esto mientras intentaba dar una respuesta inteligente a la pregunta Recorrido aleatorio con pasos positivos uniformemente distribuidos .

Una expresión para $m(t)$ puede derivarse de la denominada ecuación de renovación, que en este caso se convierte en $$m(t) = 1 + \int_{t-1}^t m(x)\,dx$$ para $t\geq 1$ mientras que $m(t) = e^t$ para $0\leq t\leq 1$ . Esto conduce (tras la diferenciación) a $m(t) - m'(t) = m(t-1)$ y se puede establecer por inducción que para reales no negativos $t$ , $$m(t) = \sum_{k=0}^{\lfloor t \rfloor} \frac{(-1)^k(t-k)^k}{k!}e^{t-k}.$$ Algunos cálculos numéricos revelan que $m(t)$ está muy cerca de $2t+2/3$ incluso para $t$ . Por ejemplo, $$m(5) = e^5 - 4e^4 + \frac92e^3 - \frac43e^2 + \frac1{24}e \approx 10.66666207.$$

La razón $m(t)$ está cerca de $2t+2/3$ es que el valor esperado de la primera suma que supere $t$ es igual a la expectativa de los términos (en este caso $1/2$ ) veces $m(t)$ (un ejemplo de la ecuación de Wald). Y la primera suma que supere $t$ lo hará por una cantidad cercana a $1/3$ en expectativa (véase la "paradoja de la inspección").

La diferencia $m(t) - (2t+2/3)$ parece ser exponencialmente pequeño, pero ¿cuál es la forma más sencilla de obtener un límite razonable? ¿Existe algún acoplamiento inteligente a un proceso estacionario? Los que dispongáis de Maple podéis obtener un gráfico con el comando

plot((sum((k-t)^k/k!*exp(t-k),k=0..floor(t))-(2*t+2/3))*exp(2*t),t=0..10);

Aquí he escalado el término de error por un factor arbitrario $e^{2t}$ para verlo más claro.

Parece que el término de error oscila con una frecuencia más o menos constante. Por ejemplo, tiene 59 ceros en el intervalo $0\leq t \leq 25$ y otros 59 en el intervalo $25\leq t \leq 50$ .

Podemos intentar explicar este comportamiento observando la ecuación $m(t)-m'(t) = m(t-1)$ sin condiciones de contorno. El ansatz $m(t) = e^{\gamma t}$ conduce a la ecuación $$1-\gamma = e^{-\gamma},$$ y podemos intentar expresar $m(t)$ como $$m(t) = 2t + \sum_i C_ie^{\gamma_i t},$$ donde $\gamma_i$ abarca las raíces complejas de $1-\gamma = e^{-\gamma}$ o si preferimos números reales, $$m(t) = 2t + \sum_i e^{\alpha_i t}\left(A_i \cos\beta_i t + B_i \sin\beta_i t\right),$$ donde $\alpha\pm \beta i$ son los pares de raíces conjugadas de $1-\gamma = e^{-\gamma}$ .

Hay un cero "trivial" en $\gamma = 0$ y el siguiente par de raíces (en orden decreciente de la parte real y creciente de la parte imaginaria) está aproximadamente a $-2.09\pm 7.46i$ . El gráfico del término de error es coherente con un término procedente de estas raíces. El error decae un poco más rápido que $e^{-2t}$ y la frecuencia de las oscilaciones es de aproximadamente $7.46$ por lo que esperamos $7.46/\pi \approx 2.37$ cambios de signo por unidad.

¿Podemos establecer que $m(t)$ es una suma de este tipo, y podemos decir algo sobre los coeficientes $A_i$ y $B_i$ ?

Answer 1

Dado $x$ , dejemos que $P_n=P_n(x)$ denotan la probabilidad de que $X_1+\ldots+X_n \le x$ donde $X_i$ son independientes y uniformes en $[0,1]$ . Usted está pidiendo $P_0+P_1+\ldots$ . Ahora, para cualquier $c>0$ la integral $$ \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{y^s}{s} ds $$ es igual a $1$ si $y>1$ y $0$ si $0\le y<1$ . La integral debe interpretarse como $\lim_{T\to \infty} \int_{c-iT}^{c+iT}$ . De ello se deduce que $$ P_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{e^{xs}}{s} {\Bbb E}(e^{-sX})^n ds. $$ Resumiendo todo esto $n$ de $0$ hasta el infinito, encontramos que $$ \sum_{n=0}^{\infty} P_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{e^{sx}}{e^{-s}-1+s}ds. $$ Esta integral de contorno puede evaluarse desplazando la línea hacia la izquierda. Hay un doble polo en $s=0$ con residuos $2x+2/3$ . Hay otros polos que surgen de los ceros de $e^{-s}-1+s$ y los residuos aquí darán el tipo de expresión que deseas. Tenga en cuenta que $s=-2.09+7.46 i$ es aproximadamente un cero de esta función.

Si he calculado correctamente, el resto es el siguiente $$ \sum_{\rho} \frac{e^{x\rho}}{\rho} $$ donde $\rho$ recorre los ceros de $e^{-s}-1+s=$ excepto el cero trivial en $s=0$ . Todos estos ceros se encuentran en el semiplano Re $(s)<0$ y, por tanto, el resto sí disminuye exponencialmente.

P.D. Quizá convenga señalar que el argumento anterior es paralelo a la "fórmula explícita" habitual en la teoría de los números primos, en la que el término de error en el teorema de los números primos se describe en términos de ceros de la función zeta de Riemann. La expresión para el tiempo de renovación dada anteriormente es totalmente análoga a esa fórmula explícita.

Answer 2

Esto es sólo un comentario pero demasiado largo para la caja de comentarios así que lo pongo aquí en una caja de respuestas. Los datos dados son para sugerir algunas relaciones más posiblemente incidentales a tal vez generalizaciones de la OP uniforme-distribución-problema.
_[actualización]: Acabo de reunir mis observaciones en ese problema en un pequeño tratado, ver aquí ._

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Estoy analizando un método matricial para la suma divergente utilizando la matriz de números eulerianos (factorialmente reescalados). Observando las secuencias intermedias $Y(0),Y(-1),\ldots$ de "transformadas eulerianas" de las secuencias de coeficientes de la $\zeta(0),\zeta(-1),\zeta(-2),\zeta(-3),\ldots$ Llego a la siguiente tabla $$ \small \begin{array} {r|rrrr} & y_0&y_1&y_2&y_3 & \cdots \\ \hline Y(0)&1e & 1e^2-1e & 1e^3-2e^2+1/2!e & 1e^4-3e^3+2e^2-1/3!e & \cdots\\ Y(-1)&2e & 3e^2-3e & 4e^3-8e^2+4/2!e & 5e^4-15e^3+10e^2-5/3!e & \cdots\\ Y(-2)&5e & 11e^2-10e & 19e^3-36e^2+17/2!e & 29e^4-84e^3+54e^2-13/3!e & \cdots\\ Y(-3)&15e & 47e^2-37e & 103e^3-180e^2+77/2!e & 189e^4-519e^3+314e^2-141/3!e & \cdots\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \ddots \end{array} $$ donde la secuencia $1e,1e^2-1e,\ldots$ se produce en la primera fila, pero también existen filas posteriores.

Mientras que la primera fila da términos $$ \small{y(0)_k = r(0)_k+2}$$ con una rápida disminución $r(0)_k$ (el $\epsilon$ en su fórmula) tenemos un tipo similar de composiciones sin embargo de orden superior, por ejemplo para $Y(0),Y(-1),Y(-2),\ldots$ las secuencias son $$ \small \begin{array}{} y( 1)_k &= r( 1)_k&+1k^{-1} \\ y( 0)_k &= r( 0)_k&&+2 \\ y(-1)_k &= r(-1)_k&&+2/3 &+ 4k \\ y(-2)_k &= r(-2)_k&&+2/3 &+ 4k&+8k^2 \\ y(-3)_k &= r(-3)_k&&+38/45 &+ 20/3k&+16k^2&+16k^3 \\ \vdots & \vdots \end{array}$$ Obsérvese que la submatriz $C$ construido a partir de los coeficientes (excepto el $r(m)_k$ -) puede considerarse una matriz y generarse mediante la inversión de la matriz de Carleman de la función $f(x)=\log( {exp(x)-1\over x} )$ . Así, las funciones generadoras exponenciales de las columnas son con la inversa funcional $g(x)=f^{[-1]}(x)$ y $g(x)=2x+2/3x^2/2!+2/3x^3/3!+38/45x^4/4! + \cdots $ simplemente sus poderes $g(x)^c$ (donde $c$ es el número de columna).

Las secuencias $R(m)$ evaluados tomaron sus sumas $\rho(m)$ dan las constantes $$ \small \begin{array}{rll|rll} \rho( 1) &=\sum_{k=0}^\infty r(1)_k &= \log(2) &\epsilon( 1,n) &=\sum_{k=n}^\infty r(1)_k \\ \rho( 0) &=\sum_{k=0}^\infty r(0)_k &= 2/3&\epsilon( 0,n) &=\sum_{k=n}^\infty r(0)_k \\ \rho(-1) &=\sum_{k=0}^\infty r(-1)_k &= 2/3&\epsilon( -1,n) &=\sum_{k=n}^\infty r(-1)_k \\ \rho(-2) &=\sum_{k=0}^\infty r(-2)_k &= 98/135&\epsilon(-2,n) &=\sum_{k=n}^\infty r(-2)_k \\ \rho(-3) &=\sum_{k=0}^\infty r(-3)_k &= 122/135&\epsilon( -3,n) &=\sum_{k=n}^\infty r(-3)_k \\ \vdots & \vdots \end{array}$$ y, escribiríamos su función de ejemplo $m(t)$ como sumas parciales $$ \small \begin{array} {} m_0(n) &= \sum_{k=0}^{n-1} r(0)_k &+ 2\sum_{k=0}^{n-1} 1 \\&= \rho(0) - \epsilon(0,n) &+ 2n \\ &=- \epsilon(0,n) + \frac 23 &+ 2n \end{array}$$ y para el siguiente ejemplo $$\small \begin{array} {} m_{-1}(n) &= \rho(-1) - \epsilon(-1,n) &+ \frac 23\sum_{k=0}^{n-1} 1 &+4\sum_{k=0}^{n-1} (1+k) \\ &= - \epsilon(-1,n)+ \frac 23 &+ \frac 23 n +& 4 \frac{n^2+n}2 \end{array}$$

Puede que los coeficientes de las filas inferiores del $Y$ -o que en las otras tablas puede incidentalmente ponerse en relación con algunas posibles generalizaciones de la composición de la distribución uniforme problema...