¿Existe una elección del parámetro $c$ tal que el M.C. sea reversible en el tiempo? En caso afirmativo, ¿para qué valores de $c$ ? En caso negativo, ¿por qué?

Question

Consideremos una cadena de Markov con un espacio de estados $S = $ { $1,2$ }. Sus probabilidades de transición son $P_{11} = 0, P_{12} = 1, P_{21} = 1c, P_{22} = c.$ ¿Existe una elección del parámetro $c$ tal que el M.C. es reversible en el tiempo? En caso afirmativo, ¿para qué valores de $c$ ? En caso negativo, ¿por qué?

tengo problemas con uno, ¿alguna idea?

Answer 1

Tenemos $$ P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1-c&c\end{pmatrix}. $$ Si $c\ne0$ entonces $$\pi = \left(\frac{1-c}{2-c}, \frac1{2-c}\right) $$ es una distribución estacionaria para $P$ (y es único ya que $P$ es irreducible y el espacio de estados es finito). Entonces la inversión temporal con respecto a $\pi$ sería $$P^*_{ij} = \frac{\pi(j)}{\pi(i)}P_{ji}. $$ Si calcula $P^*$ , encontrará que $P^*=P$ por lo que la cadena de Markov es reversible en el tiempo para todo $0<c\leqslant1$ .