¿Se trata de una aplicación del SES?

Question

Supongamos que $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ es acotada y medible y $g:[-2,2]\to \mathbb{R}$ es integrable en Lebesgue. Tenemos que demostrar que

$\lim_{h\to 0} \int_{0}^1 f(x)g(x+h) = \int_0^1 f(x)g(x) $ .

Intento 1:

Sabemos que $|f(x)g(x+h)|\leq M |g(x+h)| $ donde $g(x+h)$ es integrable en $[0,1]$ para pequeños $h$ . Por DCT, deberíamos tener

$\lim_{h\to 0} \int f(x)g(x+h)= \int_0^1 \lim_{h\to 0} f(x)g(x+h)$

Si supiéramos $\lim_{h\to 0} f(x)g(x+h)=f(x)g(x)$ a.e estaríamos acabados.

Esto sería cierto si $g$ era continua. No sé cómo proceder a partir de aquí excepto hacerlo para funciones simples (que aproximan $g$ ) y luego intentar argumentarlo para $g$ . En ese argumento también, necesito intercambiar dos límites que no estoy seguro si es válido o no.

Intento 2:

Desde $f$ es medible, es casi continua (teorema de Luzin), podríamos "de alguna manera" transferir la $h$ a $f$ en lugar de $g$ (conmutatividad de la convolución) y entonces quizás el resultado sería más fácil ya que sabemos que

$\lim_{h\to 0} f(x+h)g(x)=f(x)g(x)$ a.e

Cualquier sugerencia será bienvenida. Gracias y feliz navidad.

Answer 1

Pista:

Utilice el hecho de que $C$ es denso en $L^1$ y

$$\left|\int_0^1 f(x) g(x+h) - \int_0^1f(x)g(x)\right| \leqslant M\int_0^1|g(x+h) - g(x)|$$

Para cualquier $\epsilon> 0$ existe $g_\epsilon \in C([-2,2])$ tal que

$$\int_0^1|g(x) - g_\epsilon(x)| < \epsilon.$$

y

$$\int_0^1|g(x+h) - g_\epsilon(x+h)| =\int_h^{1+h}|g(x) - g_\epsilon(x)| \\ = \int_h^{1}|g(x) - g_\epsilon(x)| + \int_1^{1+h} |g(x) - g_\epsilon(x)| \\ \epsilon + \int_1^{1+h} |g(x) - g_\epsilon(x)|. $$

¿Ves por qué la última integral puede hacerse pequeña para $h$ suficientemente pequeño?