matrices Resolver ecuación simple con parámetros

Question

Así que tengo esta ecuación $$-2x+3y+9z=3$$ y se supone que debo resolverlo utilizando parámetros ya que no existe una solución única para esto. ¿esa sería la forma vectorial?

Sé cómo hacerlo cuando hay al menos 2 ecuaciones. https://www.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-matrices/alg-row-echelon-and-gaussian-elimination/v/matrices-reduced-row-echelon-form-2

¿pero qué pasa con el uno?

¡Tank u!

Answer 1

De hecho, como tienes una ecuación y tres puedes completar el sistema añadiendo otras dos ecuaciones "ficticias".
En ellas, para los coeficientes de las incógnitas, se puede fijar cualquier valor con el único límite de que el determinante resultante sea no nulo.
Completa la columna de los valores "conocidos" con dos parámetros.
Como el determinante no es nulo, se tiene la seguridad de que para cualquier valor de los dos parámetros se tiene un único vector que satisface el sistema y, por tanto, la primera ecuación.
A la inversa, para los parámetros que abarcan todo su rango se obtienen todos los vectores solución.

Ejemplo

Se puede poner, como se hace habitualmente, $$ \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ { - 2} & 3 & 9 \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} s \\ t \\ 3 \\ \end{array} } \right) $$ y que dará la solución indicada por Siong .
Pero también puede poner $$ \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ { - 2} & 3 & 9 \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} s \\ t \\ 3 \\ \end{array} } \right)\quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{gathered} x = s \hfill \\ y = - s + t \hfill \\ z = 1/9\left( {5s - 3t + 3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. $$ o $$ \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 \\ { - 1} & 0 & 1 \\ { - 2} & 3 & 9 \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} s \\ t \\ 3 \\ \end{array} } \right)\quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{gathered} x = - 3s - 6t + 3 \hfill \\ y = 7s + 11t - 6 \hfill \\ z = - 3s - 5t + 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. $$

Answer 2

Siempre que fije el valor de $2$ de lo desconocido, puedes recuperar el tercero.

$$z=\frac{3+2x-3y}{9}$$

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} s \\ t \\ \frac{3+2s-3t}{9}\end{pmatrix}$$

donde $s$ y $t$ son parámetros.