Supongamos que necesitamos demostrar una afirmación de la forma $P$ o $Q$ . ¿Basta con demostrar $P$ siempre que no $Q$ . ¿O necesitamos mostrar $Q$ siempre que no $P$ ¿también?
Intentaba demostrarlo:
Sea $G$ tener orden $4$ . O bien $G$ es cíclico o cada elemento de $G$ es su propia inversa. Por lo tanto, demostrar que G es abeliano.
Aquí está mi propio intento de prueba.
Sea $|G|=4$ . Supongamos que no hay ningún elemento $x\in G$ tal que $x=x^{-1}$ es decir $x^2=e$ . Entonces tenemos que mostrar $G$ es cíclico. Sea $y\in G$ con $y\ne e$ ser arbitraria. Por lo tanto, $\langle y \rangle$ es un subgrupo cíclico de $G$ . Por el Teorema de Lagrange, $|\langle y\rangle |= |y|$ divide $|G|$ . Desde, $|y|$ no puede ser igual a $2$ (según nuestra suposición), debe darse el caso de que $|y|=4$ . Por lo tanto $G=\langle y\rangle $ .
De forma similar, podríamos demostrar si $G$ no es cíclico, cada elemento de G es su propio inverso. La abelianidad se deduce de estas dos consecuencias.
