$F = \nabla f $ para algunos suaves $f: B \rightarrow \mathbb{R}$

Question

Actualmente estoy asistiendo a una clase de análisis universitario, y el profesor de mi clase demostró ayer el siguiente teorema.

Si $B \subset \mathbb{R}^2$ balón abierto, $F: B \rightarrow \mathbb{R}^2$ es suave, y el rizo $F = 0$ en $B$ entonces $F = \nabla f $ para algunos suaves $f: B \rightarrow \mathbb{R}$ .

Luego dijo que el teorema es falso para el anillo $B_{2} \setminus \overline{B_{1}}$ donde ambos $B_{2} $ y $B_{1}$ son bolas abiertas y $B_{1} \subset B_{2}$ el ejemplo es la función $F(x,y) = (\frac{x}{x^2+y^2} , \frac{-y}{x^2+y^2})$ . $F = \nabla \theta$ localmente, pero $\theta (x , y)$ no tiene una definición global.

Es que no entiendo casi nada de lo anterior. En primer lugar, ¿qué es $\theta (x, y)$ y, por tanto, cómo $F = \nabla \theta$ ¿A nivel local? ¿Por qué no tiene una definición global?

Answer 1

$\theta$ es el ángulo en coordenadas polares: $x = r \cos(\theta)$ , $y = r \sin(\theta)$ . Esto no tiene una definición global continua: si gira una vez alrededor del origen, cambia en $2\pi$ .