¿Es dgCat una categoría o una 2-categoría?

Question

Consideremos dgCat, la "colección" de todas las dg-categorías pequeñas. En Sobre categorías diferenciales graduadas y Conferencias sobre categorías dg los autores afirman que forman una categoría, es decir, dgCat tiene pequeñas categorías dg como objetos y los functores dg como morfismos. A continuación dan una estructura modelo sobre dgCat.

Sin embargo, como se señala en ¿Qué forman las categorías DG? es más probable que dgCat sea una 2-categoría: no tiene demasiado sentido decir si dos dg-functores $F$ y $G$ son iguales. En su lugar podemos hablar de morfismos entre dg-functores.

¿Cómo integrar estos dos puntos de vista? En particular, ¿podríamos seguir teniendo una estructura de categoría modelo en dgCat si la tratamos como una categoría 2?

Answer 1

La respuesta de Adeel es perfecta, seré más básico. Hay muchas nociones de estructura de "2 categorías" por aquí. 1) la categoría de pequeñas dg-categorías $\mathbf{dgCat}$ es una categoría cerrada monoidal simétrica. Cerrada significa que hay un $HOM$ en el sentido de que para dos dg-categorías pequeñas cualesquiera $A$ y $B$ hay $HOM(A,B)\in \mathbf{dgCat} $ tal que existe un isomorfismo natural de conjuntos $\mathbf{dgCat}(X,HOM(A,B))\cong \mathbf{dgCat}(X\otimes A,B)$ . Es decir $\mathbf{dgCat}$ se enriquece sobre sí misma.

Existe un functor de $H^{0}:\mathbf{dgCat}\rightarrow \mathbf{Cat}$ que le proporciona un enriquecimiento de la categoría $\mathbf{dgCat}$ en $\mathbf{Cat}$ por lo que se puede ver $\mathbf{dgCat}$ como 2-categoría.

Por otra parte, el $HOM(-,-)$ descrito antes tiene un tipo de homotopía erróneo, no se puede derivar ya que no lleva las equivalencias de Dwyer-Kan (entre objetos fibrantes-cofibrantes) a equivalencias de Dwyer-Kan (las $\mathbf{dgCat}$ no es categoría modelo monoidal simétrica en el sentido de Hovey). Bertand Toen construyó, para la categoría modelo $\mathbf{dgCat}$ la noción derecha de la hom interna derivada denotada por $RHOM(A,B)\in \mathbf{dgCat}$ (usando bimódulos, no escribiré los detalles). Además, esta nueva derivada $RHOM(A,B)$ induce el espacio Mapping derivado $Map _{\mathbf{dgCat}}(A,B)$ mediante el functor nervio de alguna subcategoría bien elegida de $RHOM(A,B)$ ). Este nuevo interno derivado permite ver la categoría $\mathbf{dgCat}$ como $(2,\infty)$ -y al mismo tiempo como categoría monoidal simétrica $(1,\infty)$ -categoría.

Una consecuencia importante es el siguiente isomorfismo en $Ho(\mathbf{sSet})$ : $$Map_{\mathbf{dgCat}}(A\otimes^{L}B,C)\cong Map_{\mathbf{dgCat}}(A,RHOM(B,C))$$

Answer 2

La estructura del modelo sobre la categoría de dg-categorías presenta un $(\infty,1)$ -categoría DGCat. Esta estructura viene dada esencialmente por la existencia de espacios de mapeo (o mapeo $\infty$ -groupoides) entre dg-categorías.

Para ver por qué DGCat admite la estructura adicional de un $(\infty,2)$ -basta con ver por qué estos mapeos $\infty$ -groupoides puede refinarse a mapeo $(\infty,1)$ -categorías, que devuelven nuestra cartografía $\infty$ -groupoides cuando pasamos al sub- $\infty$ -groupoides de morfismos invertibles.

Tal estructura es proporcionada por el functor dg-categorías, que son los objetos hom internos en DGCat (en el sentido "derivado" -- éstos se denotan $R\underline{Hom}$ de Toen). Estos funtores dg-categorías dan $(\infty,1)$ -categorías (utilizando, por ejemplo, la correspondencia Dold-Kan), que proporcionan la correspondencia $(\infty,1)$ -categorías en el $(\infty,2)$ -categoría DGCat.

(Toen demostró que estos mapeos $(\infty,1)$ -categorías también pueden describirse como $(\infty,1)$ -categorías de bimódulos derechos cuasirrepresentables).

Edición: Acabo de darme cuenta de que el preprint [Giovanni Faonte, $A_\infty$ -functores y teoría de homotopía de categorías dg , arXiv:1412.1255 parece contener una interpretación precisa de la $(\infty,2)$ -categoría de dg-categorías.