¿A qué prueba de reciprocidad cuadrática se refiere Hilbert en esta cita?

Question

Sea $(a, b)_v$ denotan el Símbolo de Hilbert al finalizar $K_v$ de un campo global $K$ en un lugar $v$ . En Ley de reciprocidad de Hilbert $\prod_v (a, b)_v = 1$ es una generalización estricta de la reciprocidad cuadrática, a la que se reduce en el caso $K = \mathbb{Q}, a = p, b = q$ . Hilbert dijo lo siguiente sobre su ley:

La ley de reciprocidad... recuerda [sic] el teorema de la integral de Cauchy, según el cual la integral de una función sobre un camino que encierra todas sus singularidades da siempre el valor $0$ . Una de las pruebas conocidas de la ley de reciprocidad cuadrática ordinaria sugiere una conexión intrínseca entre esta ley de la teoría de números y el teorema fundamental de la teoría de funciones de Cauchy.

(¿Alguien tiene idea de a qué prueba podría referirse Hilbert?

Answer 1

$\def\FF{\mathbb{F}}$ Sólo estoy adivinando, pero habría pensado que era lo siguiente: La reciprocidad de Hilbert para campos de funciones puede deducirse de la reciprocidad de Weil. La reciprocidad de Weil es la siguiente afirmación: Sea $X$ sea una curva completa sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ . Para cualquier punto $x \in X$ y funciones meromorfas no nulas $f$ y $g$ define $(f,g)_x = (-1)^{(\mathrm{ord}_x f)(\mathrm{ord}_x g)}(f^{\mathrm{ord}_x g}/g^{\mathrm{ord}_x f})(x)$ . Entonces $\prod_{x \in X} (f,g)_x=1$ . Véase aquí y aquí para la conexión.

Ahora, durante $\mathbb{C}$ podemos demostrar la reciprocidad de Weil de la siguiente manera: Elegir un camino $\delta$ conectando $0$ a $\infty$ en $\mathbb{CP}^1$ y evitando los valores críticos de $f$ . Para simplificar, supongamos $f$ tiene ceros y polos simples $\zeta^{\pm}_1$ , $\zeta^{\pm}_2$ , ..., $\zeta^{\pm}_n$ . Establecer $\gamma = f^{-1}(\delta)$ . Entonces $\gamma$ es la unión de $\deg(f)$ segmentos de línea cerrados. Tras la reordenación, podemos suponer $\zeta^+_i$ se une a $\zeta^-_i$ digamos por $\gamma_i$ .

Podemos definir $\log(f)$ en $X \setminus \gamma$ componiendo $f$ con una rama de $\log$ en $\mathbb{CP}^1 \setminus \delta$ . La forma diferencial $\omega:= \tfrac{1}{2 \pi i} \log(f) \tfrac{dg}{g}$ tiene sentido en $X \setminus (\gamma \cup g^{-1}(\{ 0,\infty \}))$ . Si integramos $\omega$ en pequeños contornos alrededor de los ceros y polos de $g$ obtenemos $\sum_{x \in X} \mathrm{ord}_x(g) \log(f(x))$ .

Por otra parte, si integramos alrededor de una vecindad tubular de $\gamma_i$ recogemos $\int_{\gamma_i} \tfrac{dg}{g} = \log(g(\zeta^{+}_i) - \log(g(\zeta^-_i))$ para alguna rama de $\log$ . Resumiendo $i$ Esto es $\sum_{x \in X} \mathrm{ord}_x(f) \log(g(x))$

La suma de los contornos alrededor de los ceros de $f$ es homóloga a la suma sobre las vecindades del $\gamma_i$ por lo que deducimos $$\sum_{x \in X} \mathrm{ord}_x(g) \log(f(x)) = \sum_{x \in X} \mathrm{ord}_x(f) \log(g(x))$$ y exponenciando se obtiene el resultado.

Answer 2

En podría sea la determinación de Kronecker del signo de la suma de Gauss mediante el teorema de Cauchy. Ya Gauss observó que la determinación del signo implica la ley de reciprocidad cuadrática.

En respuesta a la solicitud de referencias:

Leopold Kronecker: Suma de las series gaussianas ... J. Reine Angew. Math. 105 (1889), 267-268.

También en el volumen 4 de sus Werke, 297-300. (Aquí fue donde lo fotocopié, así que puedo dar fe de los números de página, tengo las páginas delante de mí ahora mismo).

También en Elementare Zahlentheorie de Landau (junto con otros dos, de Mertens y Schur), cerca del final del libro.

También se supone que está en Ayoub: Introduction to the Analytic Theory of Numbers, pero no conozco su libro, así que no puedo dar fe de ello.

Hay una determinación posterior del signo de la suma de Gauss por integración de contorno, debida a Mordell, que es bastante accesible; está en Introduction to Analytic Number Theory de Chandrasekharan, página 35--39. Chandrasekharan hace un caso más general.

Ahora, tengo no afirmó que la prueba de Kronecker era en la que Hilbert estaba pensando. No puedo leer la mente de un muerto (ni la de un vivo).

Answer 3

A añadirá algunos comentarios sobre las pruebas analíticas de la reciprocidad cuadrática. La primera se debe a Dirichlet en 1835, utilizando la fórmula de la suma de Poisson pero no el teorema de Cauchy ni la ecuación funcional de la serie theta. La ecuación funcional de la serie theta utilizada en la demostración analítica de Cauchy de 1840 fue establecida por primera vez por Jacobi. No utilizó ni la suma de Poisson ni el teorema de Cauchy, sino que dedujo la ecuación funcional mediante la manipulación de fórmulas en el marco de su teoría de las funciones elípticas. La ecuación funcional de la serie theta puede establecerse sin el teorema de Cauchy, mediante la fórmula de suma de Poisson, o mediante la fórmula de suma de Euler-Maclaurin y el análisis de Fourier. También puede establecerse mediante la fórmula de suma de Plana, y existe una demostración directa también de la reciprocidad cuadrática mediante la fórmula de suma de Plana.

Los primeros trabajos sobre funciones elípticas de Abel y Jacobi no utilizaban el concepto de función analítica ni el teorema de Cauchy.