¿Hay alguna diferencia entre el apoyo a la función y el apoyo al módulo?

Question

Sea $A$ sea un anillo conmutativo, y $M =A$ puede tratarse como un $A$ -módulo. Sea $f\in A$ tenemos el submódulo $(f) \subset A$ por lo que podemos considerar el soporte del módulo $(f)$ que es :

$$\text{supp} ((f)) = \{p\in \text{Spec} A\mid (f)_p \ne 0\} \tag{1}$$

donde $(f)_p$ significa tomar la localización del módulo $(f)$ en $p$ .

Existe otra definición de apoyo, ya que $f \in A = \mathcal{O}(\text{Spec} A)$ el apoyo de la función $f$ también puede definirse como

$$\text{supp}(f) = \{p\in\text{Spec} A \mid f(p) \ne 0\} \tag{2}$$

Dónde $f(p)$ significa la imagen de $f$ en el campo de residuos a través del mapa canónico $$A\to A_p\to A_p/(pA_p) = \kappa(p)$$

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No estoy seguro, pero he encontrado estas dos definiciones diferentes de apoyo son diferentes, en la primera por este post en proyecto de pila thereom 10.40.7 lo que demuestra que si utilizamos la definición (1), tenemos

Lemma 10.40.7. Sea $A$ sea un anillo, sea $M (= A)$ ser un $A$ -y que $f\in A$ . Entonces $p\in V(\text{Ann}(f)) = \text{supp} ( (f))$ sólo si $f$ no se asigna a cero en $A_p$ .

Sin embargo, en la definición (2): $f(p) \ne 0$ si $f$ no corresponde al ideal máximo $pA_p$ en el anillo local $A_p$ .

Ves una es equivalente a no mapear a cero otra es no mapear al ideal maximal. ¿Son diferentes estas dos definiciones de soporte?

Answer 1

Sí, son diferentes, y a mí también me confundió la primera vez que me di cuenta.

Por los Ejercicios Hartshorne II.2.16.(a) tenemos en realidad $\operatorname{supp}(f)=D(f)$ es decir, el conjunto de los primos que no contienen $f$ . Y por su Lemma tenemos $\operatorname{supp}((f))=V(\operatorname{Ann}(f))$ . Por tanto, la primera está abierta, mientras que la segunda está cerrada. Además, de la definición se desprende que $D(f)\subseteq V(\operatorname{Ann}(f))$ . Entonces es natural preguntarse si siempre tenemos $\overline{D(f)}=V(\operatorname{Ann}(f))$ . Pero esto puede fallar, por ejemplo si $A=k[\epsilon]=k[x]/(x^2)$ y $f=\epsilon$ . Incluso puede fallar si $f$ es no nilpotente: tome $A=k[x,y]/(xy^2)$ denotemos por $\overline{x},\overline{y}$ las clases de $x,y$ de lado $A$ y que $f=\overline{y}$ . Entonces $\overline{D(f)}=V(\overline{x})$ mientras que $\operatorname{Ann}(f)=(\overline{x}\overline{y})\subseteq \sqrt{(0)}$ y así $V(\operatorname{Ann}(f))=\operatorname{Spec}A$ .

Lo que podemos decir en general es lo siguiente: defina $\operatorname{Ann}(f^{\infty}):=\bigcup_{n\geq 1}\operatorname{Ann}(f^n)$ (se trata de un ideal, ya que es una unión creciente). Entonces $$ \overline{D(f)}=V(\operatorname{Ann}(f^{\infty}))=\bigcap_{n\geq 1}\operatorname{supp}((f^n)). $$ Tenga en cuenta también que si $A$ se reduce, entonces $\operatorname{Ann}(f^{\infty})=\operatorname{Ann}(f)$ porque si $xf^n=0$ para algunos $n>0$ entonces $(xf)^n=0$ y por lo tanto $xf=0$ . Así que en este caso do tienen $\overline{D(f)}=V(\operatorname{Ann}(f))$ .