$\|f\|\geqslant \|u\|$ funcional en ${L_p}_{[a,b]}$

Question

Considere la siguiente función $f(x)=\int_\limits{a}^{b}x(t)u(t)dt$ donde $x(t)\in {L_p}_{[a,b]}$ y $u(t)\in {L_q}_{[a,b]}$ El espacio ${L_q}_{[a,b]}$ es el conjugado de ${L_p}_{[a,b]}$ lo que implica $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ .

Es fácil de demostrar $\|f\|\leqslant\|u\|$

Sin embargo no estoy entendiendo la prueba de $$\|f\|\geqslant \|u\|$$

Notas : Primero se define $$u_n(t)=\begin{cases} |u(t)|, & \mbox{ if }|u(t)|\leqslant n \\ 0, & \mbox{ if }|u(t)|> n\end{cases}$$

$$x_n(t)=|u_n(t)|^{q-1}\operatorname{sign}\: u(t)$$

$$\|x_n(t)\|_{L_q}=\left(\int_\limits{a}^{b}|u(t)|^{p(q-1)}dt\right)^{\frac{1}{p}}=\left(\int_\limits{a}^{b}|u(t)|^{q}dt\right)^{\frac{1}{p}}$$

Entonces,

$$|f(x_n)|\leqslant \|f\|\|x_n\|=\|f\|\left(\int_\limits{a}^{b}|u(t)|^{q}dt\right)^{\frac{1}{p}}$$

$$f(x_n)=\int_\limits{a}^{b}|u(t)|^{q-1}\operatorname{sign}\: u(t)dt=\int_\limits{a}^{b}|u(t)|^{q}dt=|f(x_n)|\leqslant\|f\|\|x_n\|=\|f\|\left(\int_\limits{a}^{b}|u(t)|^{q}dt\right)^{\frac{1}{p}}$$

Por lo tanto: $$\|f\|\geqslant \|u\|$$

Pregunta:

¿Podría alguien explicarme cómo se demostró $\|f\|\geqslant \|u\|$ ? Me cuesta ver la desigualdad en la prueba.

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongo que $L^p([a,b])$ y $L^q([a,b])$ son espacios reales y que $p, q > 1$ son exponentes conjugados.

En primer lugar, observe que $x_n \in L^p([a,b])$ porque

$$\int_{[a,b]} |x_n(t)|^p\,dt = \int_{\{|u| \le n\}} |u(t)|^{p(q-1)}\,dt \le \int_{\{|u| \le n\}} n^q\,dt \le n^p(b-a)$$

donde $\{|u| \le n\} = \{t \in [a,b] : |u(t)| \le n\}$ .

Tenemos

$$\|x_n\|_p = \left(\int_{[a,b]} |x(t)|^p\,dt\right)^\frac1p = \left(\int_{\{|u| \le n\}} |u(t)|^{p(q-1)}\,dt\right)^\frac1p = \left(\int_{\{|u| \le n\}} |u(t)|^{q}\,dt\right)^\frac1p \le \left(\int_{[a,b]} |u(t)|^{q}\,dt\right)^\frac1p = \|u\|_q^{\frac{q}p}$$

Por otro lado,

$$f(x_n) = \int_{[a,b]} x_n(t)u(t)\,dt = \int_{\{|u| \le n\}} |u(t)|^{q-1} \operatorname{sgn} u(t) \cdot u(t)\,dt = \int_{\{|u| \le n\}} |u(t)|^q\,dt$$

Así que tenemos

$$\|f\| \ge \frac{|f(x_n)|}{\|x_n\|_p} \ge \frac{1}{\|u\|_q^{\frac{q}p}} \int_{\{|u| \le n\}} |u(t)|^q\,dt \xrightarrow{n\to\infty} \frac{1}{\|u\|_q^{\frac{q}p}} \int_{[a,b]} |u(t)|^q\,dt = \frac{\|u\|_q^q}{\|u\|_q^{\frac{q}p}} = \|u\|_q^{q - \frac{q}p} = \|u\|_q$$

Ahora, no estoy seguro de por qué definieron $x_n$ así. Parece que simplemente considerando $x = |u|^{q-1} \operatorname{sgn} u$ funcionaría igual. Entonces tenemos $\|x\|_p = \|u\|^{\frac{q}p}_q$ y $f(x) = \|u\|_q^q$ así que $$\|f\| \ge \frac{|f(x)|}{\|x\|_p} = \|u\|_q$$