Se trata de una pregunta suave en el sentido de que no tengo ninguna confusión sobre las definiciones de haz, fibra (véase: Wikipedia ), trivializando conjuntos abiertos y/o un rango localmente trivial de $r$ (a continuación figuran las definiciones de las dos últimas)
Un mapa suave suryectivo $\pi:E\to M$ de las variedades se dice que es localmente trivial de rango $r$ si i.) cada fibra $\pi^{-1}(p)$ tiene la estructura de un espacio vectorial de dimensión $r$ ii.) para cada $p \in M$ hay conjuntos abiertos $U$ de $p$ y un difeomorfismo preservador de fibra $\phi:\pi^{-1}(U)\to U\times \mathbb{R}^r$ s.t. $\forall q \in U$ la restricción $\phi\bigg|_{\pi^{-1}(q)}:\pi^{-1}(q)\to \{q\}\times\mathbb{R}^r$ es un isomorfismo de espacio vectorial. Tal conjunto abierto $U$ se denomina conjunto abierto trivializador para $E$ y $\phi$ la banalización de $E$ en $U$
Pero lo que me interesa saber es cuál fue/es la motivación i.) para las fibras/paquetes/trivializaciones, ii.) para nombrar las construcciones de la forma en que lo hicieron. Como novato tanto en topología como en geometría diferencial, las fibras/conjuntos, etc. parecen surgir de la nada, así que pensar en el panorama general, y en la ¿por qué hacemos esto? es bastante difícil.
