Si $f(z)$ es una función analítica 1 a 1 en el disco unitario y $f(0)=0$ demuestre que existe una función analítica $g(z)$ tal que $g(z)^2 = f(z^2)$ .

Question

Esta es una pregunta de un examen de cualificación de análisis complejo anterior que estoy intentando resolver para estudiar para mi próxima cualificación. No sé por dónde empezar, la verdad.

Problema:

Si $f(z)$ es una función analítica unívoca en el disco unitario y $f(0)=0$ demuestre que existe una función analítica $g(z)$ tal que $g(z)^2 = f(z^2)$ en el disco de la unidad.

Progreso actual:

El único punto de partida que se me ocurre es la definición de función unívoca, que es a la vez

Inyectiva : Si $f(z_1) = f(z_2)$ entonces $z_1 = z_2$ .

Surjective : Si $z_2 \in \mathbb{D}$ donde $\mathbb{D}$ es el disco unitario, entonces existe un $z_1 \in \mathbb{D}$ tal que $f(z_1) = z_2$ .

Además, si $f(0)=0$ y $f$ es uno a uno, entonces $f$ no tiene otros ceros y no hay otro punto fijo tal que $f(z_1) = z_1$ .

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Si $f$ no es idéntico $0$ tiene un cero de orden finito en $0$ . Así que podemos escribir $f(z)=z^{N} F(z)$ donde $F$ es analítica y no tiene ceros en el disco unitario. [ $F(z)=z^{-N}f(z) \neq 0$ para $0<|z|<1$ desde $f$ no tiene más ceros que $z=0$ ].

Ahora $f(z^{2})=z^{2N} F(z^{2})$ . Dado que el disco unitario es simplemente conexo, cualquier fucnión analítica en él sin ceros tiene una raíz cuadrada analítica. Así que $F(z^{2})=(h(z))^{2}$ para alguna función analítica $h$ . De ello se deduce que $f(z^{2})= [z^{N}h(z)]^{2}$ .