Secciones globales de la gavilla asociada al divisor de Weil en $\mathbb{P}^{1}$ .

Question

En todo momento trabajaremos sobre $\mathbb{C}$ .

Sea $P$ sea el punto $P:=[0:1]$ y $D$ el divisor de Weil $D:=nP$ . Cuáles son las secciones globales de la gavilla $\mathcal{O}_{\mathbb{P^{1}}}(D)$ ?

Sé que $$ \mathcal{O}_{\mathbb{P^{1}}}(D)(U)=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\ f,g \ \text{are homogenous of degree}\ d :\text{ord}_{p}(f)-\text{ord}_{p}(g)\geq -n\ \text{if}\ p\in U\right\}. $$

y la respuesta debe ser un grado homogéneo $d$ polinomios, pero no estoy seguro de cómo llegar a esto.

Answer 1

Su definición de las secciones es ligeramente incompleta: $f/g$ no debe tener polos en $U$ lejos de $p$ . Por lo tanto, para calcular las secciones globales, cualquier factor de $g$ que es coprimo de $x$ debe anularse por un factor de $f$ por lo que en términos mínimos $\frac{f}{g}=\frac{p(x,y)}{x^a}$ donde $a \leq n$ . Hasta multiplicar esta expresión por $\frac{x^{n-a}}{x^{n-a}}$ Por lo tanto, podemos representar cualquier sección global de esta gavilla como un polinomio homogéneo de grado $n$ dividido por $x^n$ y ya está.