¿Cuándo una función integrable de Lebesgue es una función integrable de Riemann?

Question

¿Cuándo una función integrable de Lebesgue es una función integrable de Riemann?

Y si tenemos $f\in \mathcal{L}^1([0,1],\lambda)$ ¿implica que $f$ ¿es Riemann integrable, y por qué?

Answer 1

No, no es así.

Lebesgue demostró que una función acotada $f$ es integrable de Riemann precisamente cuando el conjunto de puntos donde $f$ es discontinua tiene medida cero.

Answer 2

Esta es la Teorema de Riemann-Lebesgue que dice que $f$ es integrable de Riemann si y sólo si el conjunto de puntos de discontinuidad es de medida cero.

Tenga en cuenta que $1_{\mathbb{Q}}$ (el indicador de los racionales) es Lebesgue-integrable pero no Riemann integrable. En $[0,1]$ está acotada en casi todas partes, pero no es continua. Aquí, el conjunto de puntos de discontinuidad es de medida $1$ . Por tanto, no podemos decir nada sobre continuidad e integrabilidad de Lebesgue (excepto que toda función continua sobre un conjunto de medida finita es integrable de Lebesgue).