Aplicaciones de la conjetura de holomorfía de Artin

Question

Me pregunto por qué es tan importante la conjetura de Artin. La única razón que se me ocurre es que se podría utilizar la holomorfía de las series L de Artin y el teorema de la inversa de Weil para demostrar la modularidad de las representaciones de Galois bidimensionales.

¿Hay otras razones?

Answer 1

Desde un punto de vista moderno, su importancia radica en la relación con la modularidad/automorfía. A saber, una conjetura más fuerte, debida a Langlands, debería ser cierta: si $\rho:G_K \to GL_n({\mathbb C})$ es una representación continua irreducible, para algún campo numérico $K$ entonces existe una representación automórfica cuspidal $\pi$ de $GL_n({\mathbb A}_n)$ tal que $\rho$ y $\pi$ tienen el mismo $L$ -función; en resumen, $\rho$ viene determinada por $\pi$ .

Se trata de una teoría de campos de clase no abeliana. En el caso $K = {\mathbb Q}$ y $n = 2$ , dice que $2$ -dimensional irred. cont. reps. de $G_{\mathbb Q}$ se clasifican por eigenformas cuspidales holomorfas de peso uno (si la rep. es impar) o eigenformas cuspidales de Maass con $\lambda = 1/4$ (si la rep. es par). El caso impar es ahora un teorema totalmente demostrado (de Deligne--Serre para ir de las formas modulares a las reps. de Galois, y de Khare, Wintenberger y Kisin para ir en sentido contrario), mientras que el caso par sigue abierto. (Si la forma de Maass es diédrica, se puede construir la correspondiente rep. de Galois diédrica. --- esto se debe al propio Maass --- pero por lo demás esa dirección está abierta; si la imagen de $\rho$ es resoluble, entonces se puede construir la forma de Maass correspondiente --- esto se debe a Langlands y Tunnell).

Como se observa, en el caso bidimensional sobre $\mathbb Q$ El teorema inverso de Weil demuestra que la conjetura de Langlands es equivalente a la conjetura de Artin. (De hecho, probar esto sobre cualquier campo numérico $K$ era uno de los objetivos del famoso libro de Jacquet--Langlands). En general, los dos están también muy estrechamente ligados, de modo que ningún teórico moderno de los números piensa en uno sin el otro. En general, un principio de trabajo de la teoría moderna de números es que la única manera de establecer la holomorfía de $L$ -que surgen de las representaciones de Galois es demostrando simultáneamente la automorfía.

Answer 2

Estoy despertando una vieja y ya bien contestada pregunta, para ofrecer otro punto de vista,

La conjetura de Artin aparece de forma muy natural en el contexto del teorema de la densidad de Chebotarev. De hecho, podemos ver la contribución de Cheobtarev como un truco ingenioso para eludir la conjetura de Artin reduciendo la demostración a los casos en que se conoce (por trabajos de Dirichlet y Hecke). Pero la prueba de Chebotarev sería mucho más sencilla y natural si tuviéramos la conjetura de Artin, que además daría mejores resultados en lo que se refiere al término de error. Esta es, en mi opinión, una buena justificación de la importancia de la conjetura de Artin.

Para explicar el papel de la conjetura de Artin, supongamos también por simplicidad GRH. Entonces, para $G=Gal(K/\mathbb Q)$ un grupo de Galois finito, y $\rho$ una representación irreducible de Artin de $G$ El $L$ -función $L(\rho,s)$ no tiene cero en Re $s>1/2$ (por GRH) y ningún poste tampoco (por Artin), excepto un poste simple en $s=1$ si $\rho$ es trivial. Por lo tanto la derivada logarítmica, $L'/L(\rho,s)$ no tiene polo en Re $s>1/2$ (excepto quizás...): esto ilustra claramente el papel simétrico y complementario que desempeñan las conjeturas de Artin y Riemann; tanto los polos como los ceros de $L$ contribuyen a polos simples de $L'/L$ y Artin elimina algunas de ellas, Riemann las otras. Ahora las técnicas estándar de la teoría analítica de números nos permiten, integrando $L'/L$ en línea vertical $2+i \mathbb R$ y moviéndolo cerca de la línea crítica, a $1/2+\epsilon + i \mathbb R$ para obtener una estimación de la cantidad: $$\pi(\rho,x) = \sum_{p^n < x} \log(p) tr \rho(frob_p)^n$$ donde la suma es a la primera potencia menor que $x$ . Esta estimación es $O(x^{1/2+\epsilon})$ si $\rho$ no es trivial, y $x + O(x^{1/2+\epsilon})$ si $\rho$ es trivial, debido al polo en $s=1$ .

Ahora dejemos que $C$ sea un subconjunto de $G$ estable por conjugaison, $1_C$ su función característica. Dado que $1_C$ es una función central, es una combinación lineal de carácter de representación irreducible de $G$ , digamos $$1_C = \sum_\rho a_\rho tr \rho.$$ Por lo tanto $\pi(C,x) := \sum_{p^n< x} \log p 1_C(frob_p) = \sum_\rho a_\rho \pi_\rho(x)$ . Desde $a_1$ se calcula fácilmente como $|C|/|G|$ obtenemos $\pi(C,x)=|C|x/|G| + O(x^{1/2+\epsilon})$ que es hasta la manipulación estándar teorema de la densidad de Chebotarev.

De ahí que podamos decir que la conjetura de Artin desempeña para el teorema de la densidad de Chebotarev un papel análogo al que desempeñan las conjeturas estándar para la conjetura de Weil demostrada por Deligne. En ambos casos, se utilizó un truco ingenioso y hermoso (por Chebotarev y Deligne, respectivamente) para demostrar un teorema (el teorema de Chebotarev, también conocido como la conjetura de Frobenius, y el teorema de Deligne, también conocido como la última conjetura de Weil) sin demostrar la conjetura que hace que el teorema sea límpido (conjetura de Artin, resp. conjeturas estándar). Esto es genial, pero no hace que las conjeturas sean menos interesantes.

Adenda importante Un amigo mío me hizo notar algo que debilita significativamente el punto que estaba tratando de hacer más arriba. De hecho, para el argumento esbozado más arriba, uno no necesita GRH + la conjetura de Artin: GRH es suficiente. O, más exactamente la parte de la conjetura de Artin que se necesita ya se conoce bajo GRH. De hecho, está claro que en el argumento la ausencia de polos de $L(\rho,s)$ sólo se utiliza en la región Re $s>1/2$ . Pero por el teorema de Brauer, sabemos que $L(\rho,s)$ es meromorfa en $\mathbb C$ , y por razonamiento elemental que $\prod_\rho L(\rho,s) = \zeta_K(s)$ donde $\rho$ corre entre las representaciones de Artin de Gal $(K/\mathbb Q)$ . Además, por Hecke $\zeta_K$ no tiene polos (excepto uno simple en $s=1$ ). Por lo tanto, si todos los $L(\rho,s)$ no tienen ningún cero en una región dada, entonces tampoco tienen un polo en esa región -- esperado para $L(1,s)$ con su polo simple en $s=1$ .

Dejo el argumento anterior, porque demuestra que, la ausencia de polos para $L(\rho,s)$ es importante para las cuestiones sobre la distribución de los primos, aunque se trate de un teorema más que de una conjetura. Además, este argumento tiene un interés histórico, ya que la conjetura de Artin se formuló en los años veinte y el teorema de Brauer se demostró en 1946.

Ignoro si la cuestión de la ausencia de polos en la línea crítica para la $L(\rho,s)$ (la única parte de la conjetura de Artin que sigue abierta) tiene alguna aplicación directa sobre el distribución de los primos.