He transmitido su pregunta a John H. Conway . He aquí su respuesta: ( NB . Todo lo que sigue a esta línea es de Conway y está escrito desde su punto de vista. Por supuesto, en los comentarios y en otras partes del sitio, yo no soy Conway).
Creo que es un error centrarse en los diseños de bloques en particular. Puede que esto no responda a tu pregunta, pero hay algunos ejemplos interesantes de teoremas similares a los de Desargues y Pappus. No son diseños de bloques, pero tienen simetrías muy bonitas.
Yo las llamo "presque partout propositions" (p.p.p. para abreviar) del francés "casi todas". Esto solía utilizarse comúnmente en lugar de "casi todas" (por lo que uno escribiría "p.p." en lugar de "a.e."). El tema común de las proposiciones es que hay un grafo subyacente en el que los vértices representan objetos (por ejemplo, líneas o puntos) y las aristas representan alguna relación (por ejemplo, incidencia). Los teoremas dicen que si se tienen todas las aristas de un grafo menos una, entonces también se tiene la última arista. He aquí cinco ejemplos:
Teorema de Desargues
Gráfico : el gráfico de Desargues \= la doble cubierta bipartita de el gráfico de Petersen
Vértices representan puntos o líneas
Bordes : incidencia
Declaración : Si tienes diez puntos y diez líneas que son incidentes en todos los sentidos que indica el gráfico de Desargues excepto una incidencia , entonces también tienes la última incidencia. Se puede ver que esto es equivalente al enunciado habitual del teorema de Desargues.
Teorema de Pappus
Gráfico : el gráfico de Pappus un grafo cúbico, bipartito y altamente simétrico de 18 vértices
Vértices Puntos o líneas
Bordes : incidencia
Declaración : Igual que en el teorema de Desargues.
"Teorema de los hexágonos rectángulos"
Gráfico : el gráfico de Petersen sí mismo
Vértices Líneas en el espacio 3
Bordes las dos líneas se cruzan en ángulo recto
Declaración : Lo mismo que antes, es decir, que tener todas las aristas menos una implica la existencia de esta última. Una versión equivalente es la siguiente: supongamos que tenemos un "hexágono rectángulo" en el espacio 3, es decir, seis líneas que se encuentran cíclicamente en ángulos rectos. Supongamos que, por lo demás, están en una posición bastante genérica, por ejemplo, las aristas opuestas del hexágono son rectas oblicuas. Entonces tomemos estos tres pares de aristas opuestas y tracemos sus perpendiculares comunes (esto es único para las rectas oblicuas). Estas tres líneas tienen una perpendicular común.
Teorema del "cubo cónico" de Roger Penrose
Gráfico : el gráfico del cubo Q 3
Vértices cónicas en el plano
Bordes dos cónicas doblemente tangentes
Declaración : Igual que antes. Nótese que este teorema no está publicado en ningún sitio.
Ejemplos algebraicos estándar
Gráfico : por desgracia, esto no se ve del todo bien como un gráfico
Declaración : Las cónicas que pasan por 8 puntos comunes pasan por un 9º punto común. Las superficies cuádricas que pasan por 7 puntos pasan por un 8º (o el número que corresponda).
En fin, no conozco más ejemplos.
Además, no sé qué más teoremas se podrían tener realmente sobre la coordinatización. Quiero decir, después de tener un campo, ¿qué más se podría querer aparte de, digamos, su característica? (Por cierto, la mejor referencia que conozco para los teoremas de coordinatización es el libro de H. F. Baker "Principles of Geometry").
En cualquier caso, ¡buen provecho!
