Por qué la probabilidad de un diamante seguido de un as en el sorteo $2$ cartas de una baraja estándar barajada no es $1/51$ ?

Question

Se reparten dos cartas al azar de una baraja estándar de $52$ tarjetas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea un $\diamondsuit$ ¿y la segunda carta es un as?

Pensé que había acertado esta pregunta pero el sistema me dijo que estaba mal. Así es como lo hice.

Así que primero sé que hay $13$ diamantes en una baraja de cartas por lo que la probabilidad de obtener un $\diamondsuit$ est $13/52$ . Y hay $4$ ases por lo que la probabilidad de que la segunda carta sea un as es $4/51$ y luego se multiplican para obtener $1/51$ .

Pero está mal ¿alguien me puede ayudar?

Answer 1

CONSEJOS: La existencia del as de diamantes complica esto, como mencionó Buraian en los comentarios. Consideremos dos casos:

Caso 1: Tomas un diamante que no sea el as como primera carta. La probabilidad de hacerlo es $12/52$ y la probabilidad de obtener un diamante es $4/51$ como dijiste. Multiplícalos para obtener la probabilidad de ambos.

Caso 2: Sacas el as de diamantes como primera carta (con probabilidad $1/52$ ). Entonces, la probabilidad de sacar un as es no $4/51$ ...porque no quedan 4 ases en la baraja...

Lo importante de descomponer así los casos es que son disjuntos que es útil. ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Answer 2

Se puede especificar una carta de la baraja tomando una carta y anotando el palo; y luego, sin reemplazo, tomando una segunda carta y anotando el rango. [Ejemplo: $\clubsuit 7$ seguido de $\heartsuit 3$ especifica la tarjeta $\clubsuit 3$ .] Por simetría, cualquier carta tiene la misma probabilidad de ser especificada de esta manera, por lo tanto la probabilidad deseada para su carta específica (es decir, su combinación específica palo-rango) es $\frac{1}{52}$ .

Answer 3

Ok he reajustado un poco mis soluciones.

Solución 1: Tenemos dos casos porque si la primera carta es una $\diamondsuit$ podría ser un as o no serlo.

Hay un $\dfrac{1}{52}$ posibilidad de que el as de $\diamondsuit$ se dibuja primero, y a $\dfrac{3}{51} = \dfrac{1}{17}$ de que la segunda carta sea uno de los tres ases restantes, lo que da una probabilidad de $\dfrac{1}{52}\cdot \dfrac{1}{17} = \dfrac{1}{884}$ probabilidad de que esto ocurra.

Hay un $\dfrac{12}{52} = \dfrac{3}{13}$ posibilidad de que un $\diamondsuit$ que no sea el as se saca primero, y un $\dfrac{4}{51}$ probabilidad de que salga un as en segundo lugar, dando un $\dfrac{3}{13}\cdot \dfrac{4}{51} = \dfrac{4}{221}$ probabilidad de que esto ocurra.

Así que la probabilidad de que ocurra uno de estos dos casos es $\dfrac{1}{884} + \dfrac{4}{221} = \boxed{\dfrac{1}{52}}$ .

Observa que podemos evitar algunos de los grandes denominadores anteriores organizando este cálculo de la siguiente manera: $$\dfrac{1}{52}\cdot\dfrac{3}{51}+\dfrac{12}{52}\cdot\dfrac{4}{51} = \dfrac{1\cdot 3+12\cdot 4}{52\cdot 51} = \dfrac{51}{52\cdot 51}=\boxed{\dfrac{1}{52}}.$$ Solución 2: Podemos resolver este problema utilizando la simetría. Crea una nueva "carta" combinando el palo de la primera carta con el rango de la segunda; por ejemplo, si las dos primeras cartas son $\spadesuit$ 2 y $\heartsuit$ Q, entonces la nueva "tarjeta" sería $\spadesuit$ Q. Entonces esta nueva "tarjeta" es igualmente probable que sea cualquiera de $52$ posibilidades, una de las cuales es la $\diamondsuit$ A. Entonces, la probabilidad de que la primera carta sea una $\diamondsuit$ y la segunda carta es un as es $\boxed{\frac1{52}}$ .