Demuestre que $1={2^4+1^4+0\over 2!}-{3^4+2^4+1\over 3!}+{4^4+3^4+2\over 4!}-{5^4+4^4+3\over 5!}+\cdots$

Question

¿Cómo podemos demostrarlo?

$$1={2^4+1^4+0\over 2!}-{3^4+2^4+1\over 3!}+{4^4+3^4+2\over 4!}-{5^4+4^4+3\over 5!}+\cdots$$

Lo intento:

Sabemos que $\sum_{n=0}^{\infty}{x^n\over n!}=e^x$

Me pregunto si existe una forma cerrada para $$\sum_{n=0}^{\infty}{g^k(n)\over n!}=F(k)?$$

Si la hay, entonces es fácil deducir el problema propuesto anteriormente.

¿Alguna pista sobre por dónde empezar a abordar este problema?

Answer 1

Recibo $$ \sum_{n=2}^\infty \dfrac{n^4 + (n-1)^4 - (n-2)}{n!} t^n = 1+(2 t^4+8 t^3+8 t^2+t-1) e^t$$ Este es el caso $t=-1$ .

EDITAR: Que $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{n^k}{n!} t^n = P_k(t) e^t$$ Los polinomios $P_k(t)$ puede determinarse recursivamente ya que $P_0(t) = 1$ et $$t \dfrac{d}{dt} (P_k(t) e^t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n^{k+1}}{n!} t^n = P_{k+1}(t) e^t$$