¿Por qué entiendo esta matriz al revés?

Question

La pregunta es: El conjunto B = { ${1+t^2, t+t^2, 1+2t+t^2}$ } es una base para P2. Hallar el vector de coordenadas de $p(t)=1+4t+7t^2$ relatvive a B.

I \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 6 \end{bmatrix} Cuando remo lo reduzco obtengo: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} Pero las soluciones (y MATLAB) dicen que sí: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} Lo he intentado muchas veces y sigo acabando con la misma matriz. ¿Alguien sabe qué he hecho mal? Gracias

Answer 1

A continuación se muestra una secuencia de pasos para reducir la fila de la matriz.

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 6 \end{bmatrix}

Resta la segunda fila de la tercera:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 4\\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{bmatrix}

Añade el tercero al segundo:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 6\\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{bmatrix}

Divide el tercio por $2$ :

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 6\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}

Añade el tercero al primero:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 6\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}

Multiplica el tercero por $-1$ :

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}

Answer 2

Observa que tu matriz no es correcta: quieres resolver $$\lambda_1(1 + t^2) + \lambda_2(t+t^2) + \lambda_3(1 + 2t + t^2) = 1 + 4t + 7t^2.$$ Por lo tanto, si comparamos los coeficientes del lado izquierdo y del lado derecho, encontramos que queremos resolver el siguiente sistema para $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ : \begin{equation} \begin{cases} \lambda_1 + \lambda_3 = 1\\ \lambda_2 + 2\lambda_3 = 4\\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 7 \end{cases} . \fin{ecuación} El resultado es la siguiente matriz (aumentada): \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 4\\ 1 & 1 & 1 & 7 \end{pmatrix} . \fin

Formando esta matriz en forma escalonada se obtiene $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ y utilizando la sustitución inversa, encontramos la solución $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = ( 2, 6, -1)$ .

$\textbf{EDIT:}$ Para encontrar la forma Echelon, primero sustituí la fila 3 por (fila 3 - fila 1) para introducir un cero en la primera columna, tercera fila. Luego sustituí la fila 3 por (fila 3 - fila 2) para obtener el cero en la segunda columna, tercera fila. La sustitución inversa consiste simplemente en rellenar los valores y trabajar de abajo arriba.

Por lo tanto, es probable que haya cometido un error de cálculo en la reducción de filas.