Probabilidad indefinida

Question

Bueno, la pregunta es:

¿Cuál es la probabilidad de elegir un número natural (no específico - al azar), entre todos los números naturales?

Mis amigos aseguran que es $\frac{1}{\infty}$. Pero eso es tan absurdo, porque esta expresión es igual a cero, pero seguramente hay una probabilidad no nula de que sea elegido.

Mi profesor dice que es infinitesimal y por eso la representación. ¿Pero hay alguna otra explicación convincente?

Answer 1

Probablemente poco riguroso pero me convence. Nota: este argumento es análogo al argumento de que elegir un número real aleatorio de $(0,1)$ nunca resultará en un número racional. Se basa en la afirmación de que para incluir todos los racionales en una selección aleatoria uniforme, se debe permitir que el espacio muestral sean los reales.

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Considera los números escritos al revés en base $10$. En otras palabras, comienza con la unidad, luego la decena, luego la centena, etc.

Por ejemplo, los números del cero al noventa y nueve serían $$\begin{align} &\text{unidades}&\text{decenas}\\ &0& 0\\ &1&0\\ &\vdots&\vdots\\ &8&9\\ &9&9\\ \end{align}$$

$$\text{Sea }n = \sum_{i=0}^M d_i\cdot 10^i$$

Afirmamos que seleccionar un número aleatorio con a lo sumo $M$ dígitos es equivalente a generar una secuencia de $M$ miembros aleatorios de $\{0, 1,\dots,9\}$. Para darles a todos los números en $[0, 10^M-1]$ una oportunidad igual de ser seleccionados, debemos generar todos los $M$ dígitos, permitiendo que los números pequeños se representen con cadenas finales de ceros.

Podemos diseñar un experimento para seleccionar números aleatorios tan grandes como deseemos. El problema es que el infinito siempre es más grande. Para incluir todos los números naturales en el espacio muestral, debemos seleccionar infinitos dígitos. Si esto fuera posible, todos los números naturales podrían ser representados por la selección aleatoria eventual de una secuencia infinita de ceros finales. Que esto ocurra es extremadamente improbable.

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Para parafrasear el comentario de @Severin, asumamos que puedes seleccionar uniformemente al azar un número natural y que la probabilidad de seleccionar un número en particular no es cero. Entonces la suma de las probabilidades de todos los eventos en el espacio muestral es $\infty$. Seguramente esta es una contradicción más grave que una probabilidad de cero.

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Ahora diseñemos un experimento que realmente funcione:

Lanza una moneda hasta que salga cara. Deja que el número de lanzamientos, $n$, sea nuestro número natural (no seleccionado uniformemente al azar). Todos los $n \in \mathbb{N}$ tienen una probabilidad no nula de ser seleccionados y la suma de las probabilidades de los resultados en el espacio muestral es uno.

¿Cuál es una buena estimación de la probabilidad promedio de seleccionar un número específico en este experimento? Cualquier cosa mayor que cero es demasiado grande.

Prueba: Para cualquier elección $\epsilon>0$, podemos construir un subconjunto finito $\mathscr{S} \subset \mathbb{N}$ tal que la probabilidad promedio de seleccionar un número de $\mathscr{S}$ sea menor o igual a $\epsilon$ y la probabilidad de seleccionar un número que no esté en $\mathscr{S}$ sea menor a $\epsilon$.

Sea $\delta = \lfloor\log_2 \frac{1}{\epsilon}\rfloor$ y sea todos los $n \leq 2^\delta$ miembros de $\mathscr{S}$. La probabilidad promedio de seleccionar un miembro de $\mathscr{S}$ es $$\frac{2^{2^\delta} - 1}{(2^\delta)2^{2^\delta}} < \frac{1}{2^\delta} \leq \epsilon $$

La probabilidad de seleccionar un miembro de $\mathbb{N} - \mathscr{S}$ es a lo sumo $\frac{1}{2^{2^\delta+1}} < \epsilon$.

Por lo tanto, cualquier $\epsilon > 0$ sobrestima la probabilidad promedio de seleccionar un número natural específico.