Por qué $y(0)=0$ implica $y=0$ para $y'=y$ ?

Question

Hace veinte años, mi profesor de ODE decía que la solución de $y'(x)=y(x)$ es ehm, trivailly, $y(x)=0$ ou $y(x)=ke^x$ . Desde entonces, he intentado todo (MVT, ajuste con $e$ número...), pero no he podido demostrar que una solución que mantenga $y(0)=0$ es necesariamente $y\equiv 0$ . Un buen enlace sería suculento. Gracias.

Answer 1

Si $y$ es diferenciable y satisface $y'=y$ entonces $z(t) = e^{-t} y(t)$ . La diferenciación da $z'(t) = e^{-t} (y'(t)-y(t)) = 0$ . Por lo tanto $z'(t) = 0$ y así, por el teorema del valor medio, $z(t) = z(0)$ .

Desde $y(t) =e^t z(t)$ vemos que $y(t) = e^t y(0)$ .

Answer 2

La otra respuesta dice por qué 0 es una solución. Para ver por qué es la única solución: el Teorema de Picard-Lindelöf dice a grandes rasgos que si $f(x, y)$ es continua en $x$ y Lipschitz en $y$ entonces hay una solución única para algún intervalo cerrado alrededor de su condición inicial. En el caso de su ODE la función relevante es $f(x, y) = y$ que cumple estos requisitos, por lo que la solución es única.

Answer 3

CONSEJO

Puedes resolverlo y estudiar la solución obtenida.

En el presente caso, la solución de la EDO propuesta viene dada por $y(x) = ke^{x}$ .

Ahora queda la pregunta: cuando suponemos que $y(0) = 0$ ¿Qué implica?