Casos sencillos del lema de Yoneda

Question

Me han dado un caso muy sencillo motivador e instructivo para el lema de Yoneda:

Dada la categoría de grafos y un objeto grafo $G$ visto como un cuádruple $(V_G,\ E_G,\ S_G:E\rightarrow V,\ T_G:E \rightarrow V)$ .

Considere $K_1$ y $K_2$ el grafo de un vértice y el de un borde y los dos morfismos $\sigma$ y $\tau$ de $K_1$ a $K_2$ .

Consideremos ahora el gráfico $H$ con

• $V_H = Hom(K_1,G)$
• $E_H = Hom(K_2,G)$
• $S_H(e) = e \circ \sigma: K_1 \rightarrow G$ para $e \in E_H$
• $T_H(e) = e \circ \tau: K_1 \rightarrow G$ para $e \in E_H$

Puede verse fácilmente que $H$ es isomorfo a $G$ .

He aprendido que a) la categoría de grafos es una categoría de prehojas y que b) $K_1$ , $K_2$ son precisamente los funtores representables.

Ahora estoy buscando otros casos sencillos motivadores e instructivos.

Por cierto: ¿No debería añadirse un caso así a la entrada de Wikipedia sobre el lema de Yoneda?

Answer 1

Si programas en un lenguaje de programación funcional puro como Haskell, el lema de Yoneda te dice que para cualquier functor $F$ los tipos $F a$ y $\forall b . (a \rightarrow b) \rightarrow F b$ son isomorfas. (Restringiendo la atención a las funciones totales computables.) Ésta es realmente una afirmación no trivial y bastante sorprendente cuando se ve por primera vez. Por desgracia, es difícil de explicar si no se tienen conocimientos de CS.

No obstante, me arriesgaré a fallar e intentaré explicar un ejemplo concreto cuando $F$ es el functor 'lista', suponiendo un poco de conocimiento informático:

Fijar un tipo $a$ . Suponga que tiene una función Haskell (polimórfica) $f$ que para cualquier tipo $b$ mapas funciones $g\colon a\rightarrow b$ en una lista de elementos de tipo $b$ . Entonces $f$ es igual a una función que aplica $g$ a una lista fija de elementos de $a$ . Es un resultado poderoso. Sólo conociendo el tipo de la función $f$ es suficiente para deducir detalles significativos sobre lo que hace. Puede reducir la cantidad de trabajo necesario para demostrar la corrección de los programas.

Lo crucial para que esto funcione es que Haskell utiliza el "polimorfismo paramétrico". Si escribes una función que es polimórfica es imposible usar conocimiento específico sobre el tipo, tienes que escribir tu función genéricamente para trabajar con todos los tipos posibles.

Answer 2

Determinar todas las transformaciones naturales (mod- $2$ operaciones de cohomología) $H^n(-,\mathbb{Z}/2) \to H^m(-,\mathbb{Z}/2)$ : Tenemos $H^n(-,\mathbb{Z}/2) = [-, K(\mathbb{Z}/2,n)]$ por la representabilidad de Brown. Por Yoneda, obtenemos $[K(\mathbb{Z},m), K(\mathbb{Z},n)] = H^n(K(\mathbb{Z}/2,m),\mathbb{Z}/2)$ . Así que el mod- $2$ El álgebra de Steenrod es el anillo de cohomología de los espacios de Eilenberg-MacLane.

Answer 3

Bien, he aquí un ejemplo estándar de morfismos que determinan un objeto hasta el isomorfismo: si $A$ es una integral finitamente generada $\mathbb{C}$ -entonces los morfismos $A \to \mathbb{C}$ son precisamente los ideales maximales $\text{MaxSpec } A$ que (por la Nullstellensatz) determinan $A$ hasta isomorfismo.

Answer 4

Uno de mis hechos favoritos de este tipo es que en la categoría de conjuntos simpliciales, los mapas de la norma $n$ -a cualquier conjunto simplicial $S$ corresponden al $n$ -simples de $S$ . Obviamente, no es un resultado sorprendente, pero me parece especialmente agradable que provenga de Yoneda.

Answer 5

Consideremos el functor contravariante $\mathcal{P}_G(-):Top \longrightarrow Set $ que envía un espacio $X$ al conjunto de clases de isomorfismo de principal $G$ -bundles over $X$ . Denotemos por $BG$ el espacio base del haz universal.

Una clase característica puede considerarse
-Una transformación natural $ \mathcal{P}_G(-) \longrightarrow H^*(-)$
-Un elemento de $H^*(BG)$ .

De hecho, el lema de Yoneda da una biyección $H^*(BG) \cong Nat([-,BG],H^* (-))$ . Pero por definición del haz universal, $[-,BG]$ es equivalente a $\mathcal{P}_G(-)$ .