¿En OLS el vector de residuos es siempre 0?

Question

Intento demostrar que $$\sum_{i=1}^ne_i = 0$$

Tengo dos pistas, por así decirlo:

$$ HX = X$$ donde $H$ es la matriz del sombrero, y que $$\sum_{i=1}^ne_i = e'1$$

Mi solución es la siguiente:

$$e'1 = Y'(I-H)1=[(X\beta)' - (X\beta)'H]1=(\beta'X' - \beta'X'X(X'X)^{-1}X')1 $$ $$=(\beta'X' - \beta'X')1 = 01 = 0 $$

Parece sencillo, pero esto implica que $e'$ y por extensión $e$ es siempre un vector de ceros, lo que parece contrario a la intuición.

Answer 1

Si la suma de los residuos es cero , no ne $\mathbf e'$ es un vector de ceros.

Ejemplo:

$\mathbf e'\cdot \mathbf 1=\begin{pmatrix}-2&-3&5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=-2-3+5=0$