Tomemos dos matrices reales cuadradas $A$ y $B$ de tamaño $n$ con valores propios (posiblemente complejos) ordenados por magnitud respectivamente $|\lambda_1| \geq |\lambda_2| \geq \dots \geq |\lambda_n|$ y $|\mu_1| \geq \dots \geq |\mu_n|$ .
Si $A$ y $B$ son simétrico entonces son diagonalizables en $\mathbb{R}$ y por la desigualdad de Weyl es entonces posible acotar la diferencia absoluta de los correspondientes pares de valores propios por la norma espectral de la diferencia entre las dos matrices, es decir. $|\lambda_i - \mu_i| \leq || A - B ||_2$ .
Ahora he observado lo siguiente mediante simulación numérica: Al generar matrices aleatorias $A$ y $B$ no es simétrica en absoluto, y donde las entradas de $A$ son todos uniformes en $[0,1]$ mientras que las entradas de $B$ son todos uniformes en $[0, M]$ donde $M$ se puede elegir a voluntad (lo hice sólo para evitar el caso especial en el que las dos matrices tienen sus entradas del mismo orden), me doy cuenta de que el tipo anterior de la desigualdad sigue siendo válida. Más concretamente,
$$||\lambda_i| - |\mu_i|| \leq || A - B ||_2 \text{ still appears to be verified }\forall i \in [n]$$
(nótese que ahora tomo el módulo de los posibles valores propios complejos) y en realidad incluso en términos de radio espectral, aunque $||\lambda_1| - |\mu_1|| \leq \rho( A - B )$ no se verifica en muchos casos, $||\lambda_i| - |\mu_i|| \leq \rho( A - B )$ para $i \neq 1$ parece que sigue verificándose.
- ¿La primera observación que he hecho es demostrablemente cierta (en términos de norma espectral)?
- Si no es cierto, ¿es esto un artefacto de la forma en que genero mis matrices aleatorias? (Por ejemplo, el conjunto de matrices que no verificaría esta propiedad tiene medida 0 o las que he generado no son suficientemente genéricas y tienen estructura que llevaría a la desigualdad)
- Si no es cierto, ¿podría proporcionarme un ejemplo analítico que me ayude a entender por qué no es cierto en general o, alternativamente, una forma de generar algunos contraejemplos?
