Me planteé la siguiente EDP porque sería interesante graficarla: $$ u_t=u_{xx},\qquad0<x<L,\qquad t>0,\\ \begin{align} u(0,t)&=\sin^2\frac t2,\\ u_x(L,t)&=0,\\ u(x,0)&=0. \end{align}$$ Físicamente, se trata de una varilla con un extremo aislado y el otro que se calienta y enfría periódicamente.
Ahora bien, dado que el $x$ -no tiene dos condiciones de contorno homogéneas, me pregunto si es posible resolver esta EDP tal como está.
La forma en que me enseñaron a resolver problemas de valor límite con condiciones de valor límite no homogéneas es mediante la introducción de un segundo término para satisfacer el límite, es decir, establecer $$ u(x,t) = \phi(x,t) + v(x,t)$$ donde $\phi(x,t)$ cumple las condiciones de contorno.
Por lo tanto, necesitamos $$\phi_x(0,t)=0 \text{ and }\phi(L,t)=\sin^2\frac{t}{2}.$$ La función más sencilla que cumple estas condiciones es $$\phi(x,t)=\sin^2\frac{t}{2},$$ lo que significa $u$ es de la forma $$u(x,t)=\sin^2\frac{t}{2}+v(x,t).$$
El pde necesario ahora para resolver, para $v$ después de sustituir en su ecuación es $$v_t=v_{xx}-\cos\frac{t}{2}.$$ Sustituyendo en las condiciones de contorno también se obtiene $$v_x(0,t)=0\text{ and } v(L,t)=0$$ y la condición inicial $$v(x,0)=0.$$
Esto transforma el problema original con condiciones de contorno no homogéneas en uno con condiciones de contorno homogéneas, pero un pde no homogéneo, que es más fácil de resolver.
¿Puede continuar desde este punto?
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