Inglés sencillo" de Wikipedia entrada describe un mapa 2D de la Tierra como un colector del planeta Tierra.
¿Significa esto que, en matemáticas, un múltiple es esencialmente una representación de algo que, de otro modo, sería difícil "modelar de otra manera" para utilizarlo con algún otro fin?
No tengo ni idea de lo que estoy hablando, pero tengo curiosidad.
En primer lugar, la definición no está totalmente normalizada. Me encontré con el siguiente comentario en la página de discusión del artículo WP, que me pareció muy útil para explicar esta posible fuente de confusión:
Aquellos de nosotros que fuimos introducidos a las múltiples a través de poin (como en Munkres) tenemos la corazonada de que esto es lo que son los manifolds, y que la estructura diferencial es una superposición. Los que estructura diferencial (como en la obra de Spivak) tenemos la intuición de que eso es lo que son los múltiples.
Tanto el artículo de WP como este libro tienen listas útiles de cosas que son y no son colectores. Yo sugeriría tener estas listas a mano mientras se repasan las definiciones reales de los colectores, porque de lo contrario es difícil entender por qué los diferentes aspectos de las definiciones tienen sentido.
También es útil prepararse con una idea intuitiva e informal de lo que intentamos encapsular en una definición formal. La idea básica es que queremos ser capaces de describir una geometría despojada de (1) cualquier noción de medida, y (2) cualquier noción de lo que es una línea recta. Sin embargo, queremos conservar distinciones como la que existe entre un toroide y una esfera.
Informalmente, ésta es una definición que me gusta. Un colector n-dimensional es un espacio M con las siguientes propiedades:
M1. Dimensión: La dimensión de M es n.
M2. Homogeneidad: Ningún punto tiene ninguna propiedad que lo distinga de cualquier otro punto.
M3. Completitud: M es completo, en el sentido de que especificar una vecindad arbitrariamente pequeña da una definición única de un punto.
Si repasas algunos de los ejemplos recogidos anteriormente, verás que esto cumple con creces su cometido. Puedes comprobar que son colectores: la recta real, una circunferencia, el semiplano abierto $y>0$ la unión de dos planos disjuntos. Y que no lo son: una recta pegada a un plano, los números racionales, el semiplano cerrado $y \ge 0$ .
Aquí es una pregunta anterior que hice sobre la formalización de la definición anterior.
La definición más típica es que un colector es un espacio que es localmente como $\mathbb{R}^n$ . Filosóficamente no me gusta, pero es más fácil de formalizar que M1-M3. Para formalizarlo, se puede decir que un colector es un espacio en el que cualquier vecindad suficientemente pequeña es homeomorfa a un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ . Homeomorfo significa que se puede encontrar un homeomorfismo entre ellos. Un homeomorfismo es, intuitivamente, un proceso de estirar y distorsionar algo sin cortar ni pegar. Más formalmente, un homeomorfismo es una función que es invertible y continua en ambas direcciones.
Una múltiple es un conjunto de puntos tal que para cada uno de ellos podemos consultar una gráfico que transportará alguna región de esa variedad que contiene el punto a una región del espacio euclídeo (bien entendido). Un país es una región de la superficie terrestre. Un mapa de un país es un gráfico que te da esa región del colector (Tierra) proyectada sobre el plano euclídeo. Llamamos gráficos que cubre todo el colector y atlas . Pasar de un colector a un espacio euclidiano es útil porque allí la geometría y el cálculo serán mucho más fáciles.
Estoy pasando por alto casi todo.
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