Evaluar el flujo del campo vectorial $\vec F = -9\hat j- 3 \hat k$ en la superficie $z=y$ delimitada por la esfera $x^2+y^2+z^2=16$

Question

Evaluar el flujo del campo vectorial $\vec F = -9\hat j- 3 \hat k$ en la superficie $z=y$ delimitada por la esfera $x^2+y^2+z^2=16$

Mi intento:

$$\iint_S \vec F \cdot \vec n dS = \iint_S (0,-9,-3) \cdot (0,1,-1) dS = -6\iint_S dS = -6A$$

Dónde $A$ es el área de la superficie.

$A$ igual al área de un círculo de radio $4$ Así que $A= \pi \cdot 4^2 = 16 \pi$

Por lo tanto, el flujo es: $$\iint_S \vec F \cdot \vec n dS = -6A = -96\pi$$

Pero la respuesta correcta es $-48 \sqrt{2}\pi$ .

¿Dónde está mi error?

Answer 1

$\vec{n}$ debe tener una norma unitaria, por lo que debe dividir su respuesta por $\sqrt{2}$ (lo que equivale a multiplicar por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ).

Answer 2

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\,{#1}\,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,\mathrm{Li}} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ La "intersección" viene dada por $\ds{16 = x^{2} + y^{2} + y^{2} = x^{2} + 2y^{2}\ \imp 1 = {x^{2} \over \color{#f00}{4}^{2}} + {y^{2} \over \pars{\color{#f00}{2\root{2}}}^{2}}}$ . El área buscada viene dada por $\ds{\pi \times \color{#f00}{4} \times \color{#f00}{2\root{2}} = 8\pi\root{2}}$ que da como resultado $$ \pars{8\pi\root{2}}\pars{-6} = \color{#f00}{-48\pi\root{2}} $$