Aproximación de Stirling para la función Gamma

Question

¿Es eso cierto para cualquier $x>0$ la función gamma

$\Gamma(x)\le x^x?$

Sé que esto es cierto para los números enteros pero no estoy seguro para cualquier $x>0$ .

Answer 1

No es una solución real, sólo una estrategia: ¿puedes usar el hecho de que la desigualdad es válida para los enteros para demostrar que es válida para los racionales? Porque entonces lo haría la continuidad, ¿no?

Answer 2

Esto no es cierto. Pensemos, por ejemplo, $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi>1>(1/2)^{1/2}$ .

Sin embargo, esto es cierto siempre que $x>1$ desde

$$\Gamma(x)<\Gamma(1+x)=\int_0^\infty t^xe^{-t}dt\le\int_0^\infty x^xe^{-t}dt=x^x$$