Estos ejemplos parecen muy difíciles de construir. El problema es que cualquier compacidad o uniformidad local convertirá automáticamente tu espacio en un espacio de Tychonoff, y los espacios de Tychonoff se cierran al pasar a subespacios o productos. En consecuencia, no parece haber una "máquina" para producir este tipo de espacios.
La idea de todos los contraejemplos $X$ es escribir suficientes conjuntos abiertos de $X$ para dejar claro que los puntos pueden separarse de subconjuntos cerrados, sino para amañar de algún modo las cosas de modo que cualquier función continua de valor real sobre $X$ identifica dos puntos distintos del espacio.
El ejemplo del libro de texto de Munkres que menciona Elencwajg es bastante sencillo (relativamente hablando); tiene el mismo espíritu que el ejemplo de Raha, que es el más fácil que he encontrado. Aquí lo tienes:
Para cada número entero par $n$ set $T_n:=\{n\}\times(-1,1)$ y que $X_1=\bigcup_{n\textrm{ even}}T_n$ . Ahora dejemos que $(t_k)_{k\geq 1}$ sea una sucesión creciente de números reales positivos convergentes a $1$ .
Para cada número entero impar $n$ set $$T_n:=\bigcup_{k\geq 1}\{(x,y)\in\mathbf{R}^2\ |\ (x-n)^2+y^2=t_k^2\}$$ y que $X_2=\bigcup_{n\textrm{ odd}}T_n$ . Ahora dejemos que $$X=\{a,b\}\cup\bigcup_{n\in\mathbf{Z}}T_n$$
Topologizar $X$ para que:
- cada punto de $X_2$ excepto los puntos $(n,t_k)$ están aislados;
- un barrio de $(n,t_k)$ consiste en todos los elementos de $\{(x,y)\in\mathbf{R}^2\ |\ (x-n)^2+y^2=t_k^2\}$ ;
- una vecindad de un punto $(n,y)\in X_1$ consiste en todos menos un número finito de puntos de $\{(z,y)\ |\ n-1<z<n+1\}\cap(T_{n-1}\cup T_n)$ ;
- un barrio de $a$ es un conjunto $U_c$ que contiene $a$ y todos los puntos de $X_1\cup X_2$ con $x$ -coordenada mayor que un número $c$ ;
- un barrio de $b$ es un conjunto $V_d$ que contiene $b$ y todos los puntos de $X_1\cup X_2$ con $x$ -coordenada inferior a un número $d$ .
Se trata de un espacio $T_3$ pero todo mapa continuo $f:X\to\mathbf{R}$ tiene la propiedad de que $f(a)=f(b)$ por lo que no es $T_{3\frac{1}{2}}$ .
