Determinación del rango de un tensor disperso en $\mathbb{R}^{2 \times 2 \times 2}$

Question

En esta pregunta sólo consideraré tensores de orden 3.

Consideremos el siguiente tensor en $\mathbb{R}^{2 \times 2 \times 2}$ (que quiero demostrar su rango 3): $$ T' = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{bmatrix} $$

Para mayor claridad, podemos imaginar que $T'$ es una matriz en 3D, de tamaño 2 por 2 por 2. La primera matriz corresponde al índice de selección de una matriz, luego un segundo índice podría ser para seleccionar una columna y el último índice es para seleccionar una fila. Así, por ejemplo $T'(1,1,1) = 0$ .

Recordemos que un tensor de rango uno (tercer orden) se define como:

$$T = u \otimes v \otimes w \otimes$$

Que es simplemente un producto exterior de tres vectores, donde $ u \in \mathbb{R}^m, v \in \mathbb{R}^n, w \in \mathbb{R}^p$ (El ejemplo específico en la parte superior de la pregunta para $T'$ tenemos n = m = p). La definición de un producto exterior de orden tres es:

$$T_{i,j,k} = u_i v_j w_k$$

Para que esta definición sea más intuitiva, se puede imaginar el resultado de este producto exterior como una matriz 3D, en la que se necesitan 3 índices para indexar una posición determinada en la matriz 3D (es decir, un tensor de orden 3). es decir, tenemos matrices de tamaño m por n apiladas unas sobre otras y tenemos p de ellas.

y recordar la definición del rango de un tensor:

El rango de un tensor T es el mínimo r tal que podemos escribir T como una suma de r tensores de rango uno. es decir.

$$ r = \min_{r} \{ T = \sum^r_{i = 1} u_i \otimes v_i \otimes w_i \otimes \}$$

QUESTON PRINCIPAL:

Me dijeron que no era difícil demostrar que el rango del ejemplo T que puse arriba es el rango 3. Soy muy nuevo en el tema de los tensores y no estaba seguro de cómo plantear una demostración de este tipo o qué componentes se necesitaban. Me preguntaba si alguien podría ayudarme a empezar una prueba de este tipo con consejos útiles o proporcionar una prueba para que pueda aprender cómo abordar la forma de demostrar por mí mismo cuál es el rango de un tensor.

Yo esperaría que tal prueba comenzara como, mira podemos expresar $T'$ con 3 tensores de rango 1. Entonces demuestre que es imposible construir $T'$ exactamente con $r < 3$ . Sin embargo, este argumento de imposibilidad me parece difícil de razonar.

Soy consciente de que calcular el rango de un tensor es difícil desde el punto de vista computacional (NP-difícil), así que ¿quizá la única forma de demostrar su rango 3 sea para estos ejemplos concretos? Si ese es el caso, ¿cómo puedo abordar este?

Answer 1

Decir $T' = \left[ \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] ,\left[\begin{array}{cc}e & f \\ h & h\end{array} \right]\right] = \left[ A,B \right]$ corresponde a la definición de un tensor $T': \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ como sigue: para $u,v,w \in \mathbb{R}^2$ : donde $w = (w^1,w^2)$ , $$ T(u,v,w) = u^TAvw^1+u^TBvw^2$$ se puede comprobar que la expresión anterior es lineal en $u,v$ y $w$ . Por lo tanto, es un mapeo trilineal, es decir, es un tensor de tipo $(3,0)$ . Puedo expresarlo como una suma de covectores $e^j(w)=w^j$ . Observa: \begin{align} u^TAv = [u^1,u^2]\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \derecha]izquierda[ \begin{array}{cc} v^1 \\ v^2 \end{array} \right]&=au^1v^1+bu^1v_2+cu^2v^1+du^2v_2 \\ &=left(ae^1\times e^1+be^1 \otimes e^2+ce^2\otimes e^1+d e^2 \otimes e^2 \right)(u,v). \\ \fin{align} de la misma manera, $$ u^TBvw^2 = \left(e e^1\times e^1+f e^1 \otimes e^2+g e^2\otimes e^1+h e^2 \otimes e^2 \right)(u,v). $$ En consecuencia, como $w^1 = e^1(w)$ y $w^2 = e^2(w)$ obtenemos: \begin{align} T(u,v,w) &= \biggl[\left(ae^1\otimes e^1+be^1 \otimes e^2+ce^2\otimes e^1+d e^2 \otimes e^2 \right)\otimes e^1 \\ & \qquad + \left(e e^1\times e^1+f e^1 \otimes e^2+g e^2\otimes e^1+h e^2 \otimes e^2 \right) \otimes e^2 \biggr] (u,v,w) \end{align} O, eliminando el argumento y escribiendo lo anterior como una ecuación tensorial: \begin{align} T &= ae^1\otimes e^1 \otimes e^1 +be^1 \otimes e^2\otimes e^1+ce^2\otimes e^1\otimes e^1+d e^2 \otimes e^2 \otimes e^1 \\ & \qquad + e e^1\times e^1 \otimes e^2+f e^1 \otimes e^2 \otimes e^2 +g e^2\otimes e^1 \otimes e^2 +h e^2 \otimes e^2 \otimes e^2. \end{align} Puede ver $\beta=\{ e^i \otimes e^j \otimes e^j \ | \ 1 \leq i,j,k \leq 2\}$ forma una base para el conjunto de todos los tensores de tipo $(3,0)$ en $\mathbb{R}^2$ . Este conjunto de tensores tiene una estructura de espacio vectorial como suma y productos escalares de tensores de tipo $(3,0)$ vuelve a ser un tensor del mismo tipo. Además, la dimensión de este espacio de tensores es simplemente $2^3=8$ . El vector de coordenadas de $T$ es simplemente; $$ [T]_{\beta} = (a,b,c,d,e,f,g,h) $$ asumiendo el orden natural en $\beta$ como sugiere mi trabajo hasta ahora. Cada tensor en $\beta$ tiene rango uno (por definición) y el rango de $T$ sería la dimensión mínima de un subespacio de un rango que contenga $T$ . Aquí el término "de rango uno" significa que el subespacio está abarcado por un conjunto de tensores de rango uno. Nótese que si no se fuerza esta condición, siempre podemos encontrar un determinado $T$ en el espacio abarcado por sí mismo, por lo que el rango es un problema al que no se enfrenta directamente el álgebra lineal en el espacio de los tensores. Sólo podemos considerar bases de rango uno para el espacio de tensores cuando buscamos el rango de $T$ .

Volver a $T'$ tenemos $a=d=0$ , $b=c=1$ , $e=h=1$ y $f=g=0$ $$ T' = e^1 \otimes e^2\otimes e^1+e^2\otimes e^1\otimes e^1 + e^1\times e^1 \otimes e^2 + e^2 \otimes e^2 \otimes e^2. $$ Esto ya te lo puedo decir: $rank(T') \leq 4$ . ¿Cómo ver que este es el rango tres? ¿Cómo calcular el rango en general. Estas preguntas debo reflexionar. Gran pregunta.