Quiero saber cuál es la suma $\binom{n}{1} + \binom{n}{1+k} + \binom{n}{1+2k} +...$ . La respuesta para cuando empieza en 0 se puede derivar con raíces de la unidad y simplemente sumando, y sospecho que lo mismo aquí, excepto que necesitamos multiplicar por coeficientes para obtener los términos correctos para cancelar, y encontrar esos coeficientes parece horrible en general. Ni siquiera me apetecía hacerlo para k=3. ¿Hay alguna forma sencilla de hallar esta suma?
Respuesta
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Sea $\omega_j = \exp(2 \pi i j/k)$ sea el $k$ las raíces de la unidad. Tenemos $$ \sum_{j=0}^{k-1} \omega_j^m = \cases{k & if $ k | m $\cr 0 & otherwise}$$ Así $$ \sum_{m \equiv 1 \mod k} {n \choose m} = \dfrac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} \sum_{m=0}^n {n \choose m}\omega_j^{m-1} = \sum_{j=0}^{k-1} \dfrac{(1 + \omega_j)^n \overline{\omega_j}}{k}$$ Por ejemplo, para $k=3$ señalando que $1 + \omega_j = -\overline{\omega_j}$ para las raíces no reales, se obtiene $$ \dfrac{2^n+2 \cos( (n-2) \pi/3 )}{3}$$ (Secuencia OEIS A024494 ).
EDIT: La función generadora de su secuencia es
$$ g(x) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{j=0}^{k-1} \dfrac{(1+\omega_j)^n \overline{\omega_j} x^n}{k} = \sum_{j=0}^{k-1} \dfrac{(\overline{\omega_j}+1) x}{k(1 - (1+\omega_j) x)}$$
