Referencias de Artin motives

Question

Encuentro la siguiente descripción de los motivos de Artin en Wikipedia . Dado que parecen estar bastante relacionados con la teoría de números, me interesa aprender más en ese contexto. Pido a los expertos disponibles en MO que me proporcionen una referencia que pueda serme más útil que esta escueta descripción. Cualquier comentario o explicación también será útil. Pido disculpas por hacer una pregunta aparentemente básica; pero me resulta imposible vadear las numerosas referencias disponibles sobre los motivos.

Fijar un campo $k$ y considerar el functor extensiones finitas separables $K$ de $k$ conjuntos finitos con una acción (continua) del grupo de Galois absoluto de $k$ que asigna $K$ al conjunto (finito) de incrustaciones de $K$ en un cierre algebraico de $k$ . En la teoría de Galois se demuestra que este functor es una equivalencia de categorías. Nótese que los campos son $0$ -dimensional. Los motivos de este tipo se denominan motivos de Artin. En $\mathbb Q$ -linealizando los objetos anteriores, otra forma de expresar lo anterior es decir que los motivos de Artin son equivalentes a finitos $\mathbb Q$ -junto con una acción del grupo de Galois.

Tengo alguna idea de lo que son motivos puros y motivos mixtos, en el contexto de las variedades algebraicas. Lo que tengo exactamente en mente es entender el enunciado moderno de la conjetura equivariante del número de Tamagawa. Este parece ser el caso más sencillo a tener en cuenta, si sigo adelante.

Answer 1

Un motivo es un trozo de una variedad recortada por correspondencias. (Si se quiere, es algo de lo que podemos tomar cohomología).

Los motivos de Artin son los que se obtienen restringiendo a variedades de dimensión cero. Si el campo es algebraicamente cerrado, entonces las variedades de dimensión cero son simplemente uniones finitas de puntos, así que no hay mucho que decir; la única invariante es el número de puntos.

Pero si el campo de tierra $K$ no es algebraicamente cerrado (pero es perfecto, por ejemplo char $0$ , de modo que podamos describir todas las extensiones finitas mediante la teoría de Galois), entonces hay muchas interesantes $0$ -y, de hecho, la categoría de los motivos de Artin (con coeficientes en un campo $F$ de característica $0$ ) es igual a la categoría de continuos continuas de $Gal(\overline{K}/K)$ en $F$ -(donde el $F$ -se les da su topoogía discreta; en otras palabras, la representación debe factorizar a través de $Gal(E/K)$ para alguna extensión finita $E$ de $K$ ).

Quizá desde una perspectiva geométrica, estos motivos parezcan menos interesantes que otros. En cambio, desde el punto de vista de la teoría de números, son muy difíciles de entender. La conjetura de Artin sobre la holomorficidad de $L$ -funciones de motivos Artin, que es la conjetura básica de reciprocidad respecto a tales motivos, sigue estando muy abierta, conociéndose muy pocos casos no abelianos. (Por supuesto, para representaciones con imagen abeliana, estas conjeturas equivalen a la teoría de campos de clases, que ya es bastante no trivial).

Answer 2

El libro de André es la principal referencia para el "yoga" de los motivos. Encontrará una descripción de los motivos Artin en el formalismo Voevodsky en

Beilinson y Vologodsky - http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0832/

Wildehaus - http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0918/

Desde el punto de vista tannakiano, los motivos de Artin no son más que representaciones del grupo de Galois habitual. Así que, como motivos, los motivos de Artin no son tan interesantes. Es sólo la teoría de Galois habitual de los campos.