La única variable $\bar \partial$ -El lema de Poincare se demuestra en Huybrechts y Forster y así sucesivamente esencialmente de la misma manera: se demuestra que para una forma local $f d \bar z$ con $$g(z) := \frac{1}{2\pi i} \int_{B_\varepsilon} \frac{f(w)}{w-z} dw \wedge d\bar w$$ tenemos $\bar \partial g = fd\bar z$ . Puedo seguir la demostración a nivel formal, línea por línea, pero las manipulaciones utilizadas para obtener el resultado realmente no tienen ningún significado geométrico para mí, en parte porque realmente no entiendo cómo debería pensar en $\bar \partial$ excepto como "algún operador con núcleo las funciones holomorfas, y que realmente queremos que sea localmente exacto para poder usar la cohomología de gavilla". Mis preguntas aquí son: ¿hay alguna razón intuitiva para que el lema sea cierto en absoluto, y por qué esta integral, que se parece sospechosamente a la de la fórmula integral de Cauchy, debería ser la correcta? $g$ y ¿hay más intuición geométrica para el $\bar \partial$ operador en general que "mata funciones holomorfas"?
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$\def\dbar{\overline{\partial}}\def\zbar{\overline{z}}$ Esto no es geométrico, pero aquí hay un argumento no riguroso que sugiere esta fórmula que di cuando enseñé este lema .
Consideremos el caso en que $g$ es el $\delta$ función $\delta_w$ en $w$ . ¿Podemos encontrar una función suave $f$ tal que, en cierto sentido, $\tfrac{\partial f}{\partial \zbar} = \delta_w$ ? En otras palabras, para cualquier disco $D$ queremos $$\int_D \frac{\partial f}{\partial \zbar} d(\mathrm{Area}) = \begin{cases} 1 & w \in D \\ 0 & w \not\in D \end{cases}.$$ El producto en cuña $d z \wedge d \zbar$ est $2i$ veces la forma de área, por lo que queremos $$\int_D \frac{\partial f}{\partial \zbar} dz \wedge d \zbar = \begin{cases} 2 i & w \in D \\ 0 & w \not\in D \end{cases}.$$ Desde $df = \tfrac{\partial f}{\partial z} dz + \tfrac{\partial f}{\partial \zbar} d\zbar$ podemos reescribir el lado izquierdo como $$- \int_D df \wedge dz = - \int_D d \left(f dz \right) =- \int_{\partial D} f dz.$$ Así que queremos una función suave $f$ tal que $$-\int_{\partial D} f dz = \begin{cases} 1 & w \in D \\ 0 & w \not\in D \end{cases}.$$ La opción obvia es $f(z) = \tfrac{1}{\pi (w-z)}$ .
Consideremos ahora una función general $g(z)$ . Tenemos $$g(z) = \int_w g(w) \delta_w(z) \ d(\mathrm{Area}).$$ Desde $\dbar$ es lineal y "tenemos" $\tfrac{\partial}{\partial \zbar} \tfrac{1}{\pi(w-z)} = \delta_w(z)$ deberíamos tener $$f(z) = \frac{\partial}{\partial \zbar} \int_w g(w) \frac{1}{\pi(w-z)} \ d(\mathrm{Area}).$$
La última fórmula es correcta para cualquier liso compactamente soportado $g$ y es la fórmula que pides, hasta la relación $dw \wedge d \overline{w} = (2 i) d (\mathrm{Area})$ .
PD: Se preguntarán qué ocurre si sustituimos $\tfrac{1}{\pi (w-z)}$ por algún otro meromorfo $h(w,z)$ con un polo de residuo $\tfrac{-1}{\pi}$ en $w$ y ningún otro polo. Si $h$ explota a orden superior en $w$ entonces $\int_w g(w) h(w,z) d(\mathrm{Area})$ no convergerá de forma absoluta ni siquiera para un soporte compacto $g$ por lo que tendremos que especificar lo que significa la integral con más cuidado, lo cual es un coñazo. Así que queremos $h(w,z)$ ser $\tfrac{1}{\pi (w-z)}$ más toda una función de $z$ . Si esa función entera es distinta de cero, el resultado sigue siendo correcto para cualquier función con soporte compacto $g$ . La elección más sencilla $\tfrac{1}{\pi (w-z)}$ en lugar de, digamos $\tfrac{1}{\pi (w-z)} + e^{wz}$ tiene la ventaja de hacer que la integral todavía converja si $|g(z)| = O(1/|z|^{1+\epsilon})$ . Sin embargo, no creo que sea una gran ventaja; aún queremos demostrar el lema de Dolbeault para todo $g$ y, por lo que yo sé, eso todavía necesita un argumento de partición de la unidad, lo que hice en mi próxima conferencia .
Esto no es geométrico, pero el $\bar{\partial}$ -Lema de Poincare $$ g({\rm Re}(z),{\rm Im}(z)) ~:=~ \frac{1}{\pi} \iint_{B_\varepsilon} \frac{f({\rm Re}(w),{\rm Im}(w))}{z-w} \mathrm{d}{\rm Re}(w) \wedge \mathrm{d}{\rm Im}(w)$$ $$\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\partial g({\rm Re}(z),{\rm Im}(z))}{\partial \bar{z}}~=~f({\rm Re}(z),{\rm Im}(z)) \tag{1}$$ está vinculado al identidad distributiva $$ \frac{\partial}{\partial \bar{z}}\frac{1}{z-w}~=~\pi~\delta({\rm Re} (z\!-\!w))~\delta({\rm Im} (z\!-\!w))~=~\lim_{\varepsilon\searrow 0^+} \frac{\varepsilon}{(|z-w|^2+\varepsilon)^2} \tag{2} $$ para el 2D Distribución delta de Dirac . La segunda igualdad de la ec. (2) es una conocida representación del delta de Dirac 2D como función generalizada . (Su prueba es muy similar a la Caso 1D .) La primera igualdad de la ec. (2) puede entenderse intuitivamente mediante la regularización $$\frac{1}{z-w}~=~\lim_{\varepsilon\searrow 0^+}\frac{\bar{z}-\bar{w}}{|z-w|^2+\varepsilon},\tag{3}$$ del término singular por una función suave. Diferenciación $$ \frac{\partial}{\partial \bar{z}}\frac{\bar{z}-\bar{w}}{|z-w|^2+\varepsilon}~=~\frac{\varepsilon}{(|z-w|^2+\varepsilon)^2} \tag{4}$$ se obtiene la dcha. de la ec. (2). $\Box$
Tal vez sea posible intuir en cierta medida la $\partial/\partial \bar{z}$ -derivada considerando la física de la luz. La luz es una onda transversal y la luz monocromática viene entonces con una polarización. Una onda monocromática general es una onda elíptica. Esta onda luminosa se compone de una parte de polarización horizontal y otra de polarización vertical. Cada una de estas partes de polarización tiene una amplitud y una fase, por lo que codificamos la onda luminosa con dos números complejos, digamos $a$ y $b$ para la polarización horizontal y vertical, respectivamente. Cuando se suman las dos partes de polarización se obtiene la onda elíptica general.
También podemos dividir la onda luminosa en otras partes de polarización. Los planos de polarización lineal pueden no estar necesariamente en las direcciones horizontal/vertical. También se suele considerar que los planos de polarización están inclinados en $\pi/4$ y, de hecho, cualquier inclinación de los planos de polarización para algún ángulo entre $0$ y $\pi$ realiza una descomposición de polarización válida. Pero hay más formas de descomponer la polarización. La onda luminosa también se puede descomponer en partes de polarización circular. Entonces se piensa que la onda luminosa está compuesta por una onda circular derecha y una onda circular izquierda. Cada una de estas ondas circulares tiene una amplitud y una fase, por lo que también podemos codificar la onda luminosa con otros dos números complejos, digamos $c_+$ y $c_-$ para las partes derecha e izquierda respectivamente.
Consideremos ahora un $\mathbf{R}$ -función diferenciable $f:\mathbf{C}\rightarrow\mathbf{C}$ que también puede considerarse como una función diferenciable $f:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R}^2$ . El diferencial $df: \mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R}^2$ es una función lineal y, por ejemplo, asigna un círculo a una elipse general. Si expresamos la diferencial como $df=f_xdx+f_ydy$ esto nos da una descomposición de la diferencial en partes de polarización horizontal/vertical. Las derivadas parciales son $\mathbf{R}^2$ -que también consideramos números complejos. Así obtenemos en cada punto dos números complejos $f_x$ y $f_y$ que codifica las partes de polarización horizontal/vertical de $df$ .
¿Qué pasa con la descomposición de polarización circular de $df$ ? Para calcular las partes de polarización circular de $df$ podemos calcular el cambio medio de $f$ sobre un círculo cuando se compara con un círculo con la misma orientación o antiorientación de radio pequeño y se deja que este radio tienda a cero. Las derivadas parciales $\partial/\partial z$ y $\partial/\partial\bar{z}$ como operadores de cálculo de polarización circular se definen entonces como $$ \frac{\partial f}{\partial z}=\lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(z+re^{i\theta})-f(z)}{re^{i\theta}}d\theta $$ $$ \frac{\partial f}{\partial\bar{z}}=\lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(z+re^{i\theta})-f(z)}{re^{-i\theta}}d\theta $$ Un cálculo rápido da que $\partial z/\partial z=1$ , $\partial \bar{z}/\partial z=0$ , $\partial z/\partial\bar{z}=0$ y $\partial\bar{z}/\partial\bar{z}=1$ por lo que estas definiciones coinciden con las definiciones habituales de $\partial/\partial z$ y $\partial/\partial\bar{z}$ dada por \begin{align*} \frac{\partial}{\partial z}&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\right)\\ \frac{\partial}{\partial\bar{z}}&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right) \end{align*} Las definiciones habituales pueden reconocerse como Vectores de Jones de polarización circular (con un factor adicional $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ). Los vectores Jones de los diferentes estados de polarización son unitarios $\mathbf{C}^2$ -vectores y forman juntos $S^3$ . Si consideramos iguales los estados de polarización que sólo difieren por un factor de fase global, obtenemos una proyección de $S^3$ a $S^2$ . Este $S^2$ es el Esfera de Poincaré .
La descomposición de polarización circular de $df$ viene dada por $$ df=f_zdz+f_{\bar{z}}d\bar{z} $$ Para una función holomorfa $f_{\bar{z}}=0$ y el diferencial es $df=f_zdz$ lo que significa que un círculo del espacio tangente se representa como un círculo aumentado un factor $|f_z|$ y giró un ángulo $\arg f_z$ . Esto se denomina en algunos libros de texto la propiedad "amplitwist" de una función holomorfa. Para una función general, no necesariamente holomorfa, un círculo amplitwist orientado en sentido antihorario se suma con un círculo amplitwist orientado en sentido horario y esto da una elipse.
