No está escrito muy claramente, diga lo que diga. Claramente, $\mathbf{U}^\top$ es una matriz, no una base, y el espacio de columnas de $X$ es la distancia entre las columnas de $\mathbf{X}$ y no un término genérico para las bases de dichos espacios.
Tengo una suposición sobre a qué se refiere el autor aquí.
Otra forma de escribir el espacio de columnas de $\mathbf{X}$ es $$\{\mathbf{X}v : v \in \Bbb{R}^n\}.$$ ¿Por qué? Es un simple hecho de la multiplicación matricial que multiplicar una matriz por un vector de columnas produce una combinación lineal de las columnas de la matriz, utilizando las entradas del vector como coeficientes. Más explícitamente, $$\left(\begin{array}{c|c} &&& \\ \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 & \cdots & \mathbf{x}_n \\ &&& \end{array}\right)\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = v_1 \mathbf{x}_1 + v_2 \mathbf{x}_2 + \ldots + v_n \mathbf{x}_n$$ Por lo tanto, el conjunto de todos los $\mathbf{X}v$ es efectivamente el mismo que el conjunto de combinaciones lineales de columnas de $\mathbf{X}$ .
He aquí otra identidad relevante:
$$\mathbf{A}\left(\begin{array}{c|c} &&& \\ \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 & \cdots & \mathbf{x}_n \\ &&& \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c|c} &&& \\ \mathbf{A}\mathbf{x}_1 & \mathbf{A}\mathbf{x}_2 & \cdots & \mathbf{A}\mathbf{x}_n \\ &&& \end{array}\right).$$
Así, de este modo, pasando de $\mathbf{X}$ a $\mathbf{U}^\top \mathbf{X}$ estamos sustituyendo esencialmente el $\mathbf{x}_i$ s en cada combinación lineal
$$v_1 \mathbf{x}_1 + v_2 \mathbf{x}_2 + \ldots + v_n \mathbf{x}_n$$
con $\mathbf{U}^\top \mathbf{x}_i$ s, dando como resultado
$$v_1 \mathbf{U}^\top \mathbf{x}_1 + v_2 \mathbf{U}^\top \mathbf{x}_2 + \ldots + v_n \mathbf{U}^\top \mathbf{x}_n.$$
De esta manera hay tipo de ahora se está produciendo un cambio de base, ya que estamos interpretando las coordenadas que se hicieron originalmente con respecto a las columnas de $\mathbf{X}$ ahora en términos de los vectores columna de $\mathbf{U}^\top \mathbf{X}$ que son versiones transformadas de la $\mathbf{x}_i$ s.
Eso es todo lo que creo que el autor quiere decir con esto.
