En la categoría derivada, uno no quiere calcular directamente digamos el $k$ -ésima ranura de un complejo ya que los complejos pueden tener muchas representaciones cuasi-isomórficas diferentes. Es decir, en la categoría derivada, no hay distinción entre, por ejemplo, un módulo M pensado como un complejo soportado en grado cero y una resolución proyectiva.
En cambio, tal vez quieras saber cuál es la cohomología del complejo dualizante. En efecto, en general $h^n( \mathbf{R}\textrm{Hom}_R(L,M)) = \textrm{Hom}_{D(R)}(L,M[n])$ donde $R$ es un anillo conmutativo y $L$ y $M$ son complejos de $R$ -módulos, véase SP TAG 0A64, sin embargo esto no siempre es fácil de aplicar a un ejemplo. A veces es más fácil entender lo siguiente $\mathbf{R}\textrm{Hom}$ observando que se ha derivado la adjunción hom-tensorial, es decir $$\textrm{Hom}_{D(R)}(K, \mathbf{R}\textrm{Hom}_R(L,M)) \cong \textrm{Hom}_{D(R)}(K \otimes_R^{\mathbf{L}} L, M)$$ para complejos $K,L,$ y $M$ . Quizá el producto tensorial derivado resulte más fácil de entender.
Sin embargo, los complejos dualizantes para módulos sobre anillos locales tienen una interpretación específica a través de la dualidad local. Te dejo que busques las correspondientes versiones teóricas de esquemas globales. Si $(R,\mathfrak{m})$ es un anillo local y $\omega_R^{\bullet}$ es un complejo dualizante, que sólo es único hasta cuasi-isomorfismo y desplazamiento, por lo que a menudo se supone normalizado de modo que $h^{-\textrm{dim} R}( \omega_R^{\bullet})$ es el primer módulo de cohomología distinto de cero, entonces $\omega_R = h^{-\textrm{dim} R}\omega_R^{\bullet}$ es un módulo canónico para $R$ . La dualidad local da en el caso completo un cuasi-isomorfismo $$\mathbf{R}\textrm{Hom}_R( K, \omega_R^{\bullet}) \cong \text{Hom}_R( \mathbf{R}\Gamma_{\mathfrak{m}}(K),E)$$ donde $E$ es el casco inyectivo del campo de residuos. Es decir, $R$ es Cohen-Macualay si y sólo si $\omega_R^{\bullet}$ sólo tiene un módulo de soporte distinto de cero en $-\textrm{dim} R$ y cuando $R$ es Gorenstein, este módulo es isomorfo a $R$ .
Como ejemplo de cómo se utiliza, vamos a mostrar una prueba rápida de que cuando $R$ es un dominio local noetheriano, $\textrm{Ann} H_\mathfrak{m}^i(R)$ no es cero para $i < \textrm{dim} R$ . En efecto, basta con encontrar un elemento $r$ para que $r h^{-i}(\omega_R^{\bullet}) = 0$ por dualidad local. Cada $ h^{-i}(\omega_R^{\bullet})$ está finitamente generado, por lo que si localizamos en el único primo mínimo, terminamos con un complejo dualizante sobre un campo. Este último vive exactamente en un grado, $-\textrm{dim} R$ .
Por último, una nota computacional importante es que cuando $S$ es un anillo regular y $R = S/I$ entonces $\omega_R^{\bullet} := \mathbf{R}\textrm{Hom}_S(R,S)$ es un complejo dualizante para $R$ . Además, a menudo se utilizan complejos dualizantes para controlar el estudio de las singularidades. Una vez que se dispone de ellos, la mayoría de las veces se estudian viéndolos en varios diagramas conmutativos y tomando la homología, de modo que casi nunca es necesario saber cuáles son los módulos de soporte reales, sino que interesa mucho más la cohomología del complejo.
