¿Por qué la raíz par de un número es siempre positiva?

Question

Deje que $n \in \mathbb N$ ser un número natural y $a \in \mathbb R$ ser un número real. El $n$ -th la raíz del número $a$ se define de la siguiente manera:

Caso I: $n$ es un número impar. En este caso el $n^{ \text {th}}$ raíz de $a$ se define como ese número $b \in \mathbb R$ de tal manera que $b^n = a$ .

Caso II: $n$ es un número par. En este caso el $n^{ \text {th}}$ raíz de $a$ se define como ese número $b \geq 0$ de tal manera que $b^n = a$ .

¿Por qué es que cuando $n$ es parejo, sólo consideramos $b \geq 0$ . Por ejemplo, ambos $+2$ y $-2$ igual al cuadrado $4$ pero cuando decimos la raíz cuadrada de $4$ es $2$ . ¿Hay alguna razón para esto?

Answer 1

Hay una diferencia entre "soluciones a $x^n = a$ " y " el $n$ raíz de $a$ ".

Básicamente, si quieres que la raíz cuadrada sea un (valor único) función entonces debería obtener una y sólo una respuesta para cualquier entrada válida. Esto significa que no se puede decir simplemente "la raíz cuadrada de $4$ es a número cuyo cuadrado es $4$ ", porque entonces se pueden obtener diferentes respuestas dependiendo de a quién se le pregunte, o cuándo se le pregunte; siempre se quiere obtener la mismo respuesta. Lo que significa que tienes que elegir un de los números cuyo cuadrado es $4$ para ser el raíz cuadrada de $4$ .

Esto se hace mediante convención (acuerdo). En principio, no hay ninguna razón para preferir la solución no negativa a la no positiva; en la práctica, se quiere elegir siempre las no negativas, o elegir siempre las no positivas (eso hace que la función "raíz cuadrada" sea una función "bonita", donde lo bonito tiene que ver con propiedades de las funciones como la continuidad). Y como la gente entendió los números reales positivos durante mucho más tiempo de lo que entendió los negativos (incluso los enteros negativos), la opción no negativa es la que todos estamos de acuerdo en utilizar.

Por eso $\sqrt{4}$ es $2$ y no $-2$ y no $\pm 2$ . Queremos que la raíz cuadrada sea una función, por lo que queremos una única respuesta, y aceptamos dar como respuesta la solución no negativa de $x^2=4$ .

Lo mismo ocurre con otros poderes pares: hay dos posibles respuestas para el ecuación pero queremos que el función para tener una única respuesta, por lo que acordamos que será la no negativa.

Este problema no se plantea con raíces cúbicas, quintas, séptimas, Impares, porque entonces no se tienen dos posibles respuestas para la ecuación, por lo que no es necesario elegir para la función.

Answer 2

Para que todo esto tenga sentido, tenemos que ver las cosas en el plano complejo. Cuando elegimos tomar la raíz cuadrada positiva, sólo estamos eligiendo un corte de rama particular de la logaritmo complejo . En general, dado un número $x\neq 0$ , $x$ tendrá $n$ distinto $n^{th}$ raíces.

Te has dado cuenta de que $-2$ y $2$ son ambas raíces cuadradas de $4$ . ¿Qué pasa con las raíces cúbicas de $2^{\frac{3}{2}}$ ? Bueno, tenemos $\sqrt{2}$ pero, ¿es el único? No, también tenemos $-1+i$ y $-1-i$ . Del mismo modo, para la cuarta raíz de $16$ . Tenemos las raíces $2$ y $-2$ pero también tenemos $2i,-2i$ .

En general, cuando tomamos el $n^{th}$ raíz de un número real, obtenemos $n$ diferentes posibilidades en el plano complejo. En otras palabras, tomando $n^{th}$ raíces es una función multivaluada, por lo que tenemos que hacer una elección, y ésta corresponde a la elección de un corte de rama para la función logaritmo.

Para la mayoría de las situaciones elegimos la rama que envía la línea real positiva a la línea real positiva, pero a veces hay que elegir una rama diferente. (Por ejemplo, evaluando ciertas integrales por métodos complejos).

Espero que eso ayude,

Answer 3

Tengo dos preguntas y dos respuestas que deberían aclarar tu confusión.

Esta es la primera pregunta. ¿Por qué sólo podemos elegir un valor para una raíz cuadrada?

La respuesta es ésta: Porque cualquier valor numérico sólo debe tener una respuesta real. De lo contrario, lo que estás diciendo esencialmente es $\sqrt{1}=1=-1$ . Pues no, mira, ahí mismo hay una contradicción entre tu declaración; $1 \neq -1$ . Por lo tanto, sólo podemos tener una respuesta: la raíz positiva o la raíz negativa.

$2$ a pregunta: ¿Por qué tomamos el valor positivo para la raíz cuadrada?

La mejor respuesta que se me ocurre es esta. Tomemos un número como $256$ . Bien, ahora digamos que la raíz cuadrada de $256$ es $16$ (Oh, espera, también es igual a $-16$ ) Ahora tomemos la raíz cuadrada de $16$ . La respuesta es $4$ (Oh, espera, también es igual a $-4$ ) Por último, tomemos la raíz cuadrada de $4$ . La respuesta es $2$ pero al mismo tiempo es $-2$ .

Ahora, el $2$ nd de $256$ es $16$ El $4$ raíz de $256$ es $4$ y el $8$ raíz de $256$ es $2$ . Sin embargo, $256$ nunca tendría una raíz cuarta u octava si se utilizara la raíz cuadrada negativa. En caso contrario, entonces la raíz cuadrada de $256$ es $-16$ y la raíz cuadrada de $-16$ no existiría.

Espero que esto haya ayudado a responder a su pregunta.