Cómo demostrar ${2n \choose n} = 2\cdot (2n-1) \cdot \frac{1}{n} {2(n-1) \choose n-1}$ ?

Question

Llevo un tiempo mirando esta identidad que aparece en mi libro de texto. Introduciendo números puedo comprobar que es cierta, pero no tengo ni idea de cómo se ha determinado o demostrado. ¿Hay algún buen resultado sobre coeficientes binomiales que dé esta identidad?

Lo único que se me ocurre es una aplicación creativa de la identidad de Pascal, pero incluso así me sale el resultado.

Answer 1

$$2(2n-1)\frac1n\binom{2n-2}{n-1}=\frac{(2n)(2n-1)}{n^2}\frac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!} =\frac{(2n)!}{n!n!}=\binom{2n}n.$$

Answer 2

Recordemos que $\displaystyle{a \choose b} = \frac{a \cdot (a-1) \cdots (a-b+1)}{b!}$

El denominador de $\displaystyle{2n \choose n}$ es $n!$ .
El denominador de $\displaystyle{2(n-1) \choose n-1}$ es $(n-1)!$ .
Así que $\displaystyle\frac{1}{n} {2(n-1) \choose n-1}$ tiene el mismo denominador que ${2n \choose n}$ .

El numerador de $\displaystyle{2n \choose n}$ es $2n\cdots (n+1)$ .
El numerador de $\displaystyle{2(n-1) \choose n-1}$ es $(2n-2)\cdots n$ .
Así que $\displaystyle\frac{(2n)(2n-1)}{n}{2(n-1) \choose n-1}$ tiene el mismo numerador que ${2n \choose n}$ .