Demuestre que este conjunto es homeomorfo a $S^1\times{}S^1$

Question

Sea $X=\{((b+a\cos(\theta))\sin(\phi),(b+a\cos(\theta))\cos(\phi),a\sin(\theta))\in{}\mathbb{R}^3|\theta,\phi\in{}[0,2\pi)\}$ con $0<a<b$ .

Estoy tratando de mostrar $X\simeq {}S^1\times{}S^1$ .

Entiendo que si consideramos el cuadrado unitario, con los lados inferior y superior identificados con puntos extremos identificados, lo mismo con los lados izquierdo y derecho, podemos incrustar esto en $\mathbb{R}^3$ para obtener el toroide. Pero ¿puedo utilizar esto con $X$ para mostrar lo que busco?

Answer 1

Sea $R = [0,2\pi] \times [0,2\pi]$ . El mapa $p : [0,2\pi] \to S^1, p(t) = e^{it}$ es un mapa cociente que identifica los dos puntos $0, 2\pi \in [0,2\pi]$ a un único punto en $S^1$ .

El mapa $q = p \times p : R \to T = S^1 \times S^1$ es un mapa cociente. Identifica $(\theta,0)$ con $(\theta,2\pi)$ y $(0,\phi) $ con $(2\pi,\phi)$ como se describe en su pregunta.

Defina $$f : R \to \mathbb R^3, f(\theta,\phi) = ((b+a\cos \theta)\sin \phi,(b+a\cos \theta)\cos \phi,a\sin \theta) .$$ $f(\theta,\phi) = f(\theta',\phi')$ significa que

1. $(b+a\cos \theta)\sin \phi = (b+a\cos \theta')\sin \phi'$

2. $(b+a\cos \theta)\cos \phi = (b+a\cos \theta')\cos \phi'$

3. $a\sin \theta = a\sin \theta'$ es decir $\sin \theta = \sin \theta'$ .

Si se elevan al cuadrado 1. y 2. y se suman, se obtiene

4. $(b+a\cos \theta)^2 = (b+a\cos \theta')^2$

Desde $0 < a < b$ , ambos $b+a\cos \theta, b+a\cos \theta'$ son positivas y concluimos

5. $b+a\cos \theta = b+a\cos \theta'$ es decir $cos \theta = \cos \theta'$ .

Insertando 5. en 1. y 2. obtenemos

6. $\sin \phi = \sin \phi'$

7. $\cos \phi = \cos \phi'$

Tenemos $\theta, \theta' \in [0,2\pi]$ por lo que 3. y 5. demuestran que o bien $\theta = \theta'$ o que uno de $\theta, \theta'$ es $0$ y el otro es $2\pi$ . Del mismo modo, 6. y 7. demuestran que $\phi = \phi'$ o que uno de $\phi, \phi'$ es $0$ y el otro es $2\pi$ .

Esto demuestra que $f(\theta,\phi) = f(\theta',\phi')$ sólo si $q(\theta,\phi) = q(\theta',\phi')$ . Por la propiedad universal del cociente $f$ induce una única inyectiva mapa $f' : T \to \mathbb R^3$ tal que $f' q = f$ . Desde $T$ es compacto y $f(R)$ es Hausdorff, vemos que $f' : T \to f(R)$ es un homeomorfismo. Pero está claro que $$f(R) = f([0,2\pi) \times [0,2\pi)). $$