Estoy trabajando desde Rudin $Real~And~Complex~Analysis$ (3ª ed.) por mi cuenta, más concretamente en el ejercicio 4 del capítulo 3, que se repite parcialmente a continuación (ligeramente modificado). Sólo hago referencia a la parte (b) del ejercicio, ya que es la única parte con la que tengo problemas. Para el resto del problema (es decir, la parte (a) y las partes (c), (d) y (e) del ejercicio), consulte este enlace que apunta a una descarga gratuita del libro de Rudin mencionado anteriormente (véase PG. 71 de su libro), o véase esta entrada etc. Tenga en cuenta que estoy trabajando fuera de este libro exclusivamente, y todos los conceptos, definiciones, teoremas, etc, en el mismo es lo que estoy trabajando.
Ejercicio 3.4 Supongamos que $(X,\mathfrak{M},\mu)$ es un espacio de medidas, donde $\mu$ es una medida positiva, y supongamos $f\!:\!X\!\rightarrow\!\mathbb{C}$ es una función medible. En cualquier $p_{0}\in(0,+\infty)$ definimos $\varphi(p_{0}):=\big(\|f\|_{p_{0}}\big)^{p_{0}}\!\!={\displaystyle{\!\!\int_{X}|f|^{p_{0}}~\!d\mu}}$ así como definimos el conjunto $E:=\big\{\widetilde{p}\in(0,+\infty):\varphi(\!~{\widetilde{p}}\!~)\!<\!+\infty\big\}$ . También suponemos que $\|f\|_{+\infty}\!>0$ .
(b) Demuestre que $\log(\varphi)$ es convexa en el interior de $E$ así como que $\varphi$ es continua en $E$ .
Tengo dificultades para demostrar que $\varphi$ es continua en todos los puntos de $E$ . En cuanto a mi dilema en particular, necesito amablemente ayuda con una elaboración de la última, estricta, desigualdad que se encuentra en esta prueba sólo para la parte (b). La estimación en esa prueba da continuidad en todo $E$ (nótese también que mi comentario está al final de esa página web también solicitando la misma elaboración, a lo que no he recibido respuesta hasta ahora, y pensé en venir aquí a ver qué puedo encontrar para avanzar en el libro en general). En caso de que el enlace para esta prueba está roto (o se rompe en algún momento en el futuro), voy a proporcionar la parte pertinente de la prueba publicada allí a continuación (también ligeramente modificado) en lo que respecta a la parte (b) en particular.
//Prueba (b): Empiece por dejar que $r,s\in E\subseteq\mathbb{R}^{+}$ donde $r<s$ y, a continuación, fijar $\lambda\in(0,1)$ arbitrariamente para fijar $p=p_{\lambda}=(1-\lambda)r+\lambda s\in(r,s)$ . Apelando a H $\ddot{\text{o}}$ lder, ahora podemos deducir que $\varphi(p)\leq\big(\varphi(r)\big)^{1-\lambda}\big(\varphi(s)\big)^{\lambda}\!<\!+\infty$ . Podemos utilizar esta desigualdad para demostrar la primera parte de (b) -- necesitamos $\varphi>0$ en el interior de $E$ lo que es efectivamente el caso ya que $\|f\|_{+\infty}\!>0$ (He demostrado esto con una rápida prueba por contradicción), y así $\log(\varphi)$ es convexa en el interior de $E$ cediendo $\varphi$ es convexa en el interior de $E$ y podemos concluir $\varphi$ es continua en el interior de $E$ .
Para demostrar que $\varphi$ es continua en todos los puntos de $E$ primero dejamos que $\varepsilon>0$ y entonces podemos encontrar un $N\in\mathbb{N}$ tal que el conjunto $E_{N}:=\big\{\widetilde{x}\in X:|f(\widetilde{x})|>N\big\}\cup\big\{\widetilde{x}\in X:0<|f(\widetilde{x})|<\frac{1}{N}\big\}$ tiene una medida inferior a $\varepsilon$ -- A saber, $0\leq\mu(E_{N})<\varepsilon$ y esto es posible ya que $\|f\|_{+\infty}\!>0$ . Dicho esto, elija un $\delta>0$ tal que $0\leq\text{min}\big\{|1-N^{\delta}|,\big|1-\frac{1}{N^{\delta}}\big|\big\}<\varepsilon$ . Entonces, para cualquier $x,y\in E$ donde $|x-y|<\delta$ estimamos que:
${\displaystyle{|\varphi(x)-\varphi(y)|=\bigg|\int_{X}|f|^{x}-|f|^{y}d\mu\bigg|=\bigg|\int_{E_{N}~\sqcup~X\backslash E_{N}}\!\!\!\!\!\!|f|^{x}-|f|^{y}d\mu\bigg|}}$
${\displaystyle{
~~~~~\leq\bigg|\int_{E_{N}}|f|^{x}-|f|^{y}d\mu\bigg|+\bigg|\int_{X\backslash E_{N}}|f|^{x}-|f|^{y}d\mu\bigg|}}$${\displaystyle{
~~~~~<2\varepsilon\big(\varphi(x)+\varphi(y)\big)}}$ ,que muestra que $\varphi$ es continua en $E$ .
No consigo simplificarlo todo bien para mostrar la última desigualdad estricta anterior ${\displaystyle{\bigg|\int_{E_{N}}|f|^{x}-|f|^{y}d\mu\bigg|+\bigg|\int_{X\backslash E_{N}}|f|^{x}-|f|^{y}d\mu\bigg|<2\varepsilon\big(\varphi(x)+\varphi(y)\big)}}$ retiene. Tenía la esperanza, no sólo si esto es correcto, pero para determinar la forma de establecer esto, ya que esto realmente muestra $\varphi$ es uniformemente continua en $E$ lo que implica continuidad en $E$ (correcto [?] -- parece correcto como $\varphi(x)+\varphi(y)<+\infty$ siempre que $x,y\in E$ ). Me imaginé que necesitamos tomar la primera integral ${\displaystyle{\bigg|\int_{E_{N}}|f|^{x}-|f|^{y}d\mu\bigg|}}$ y utilizar nuestra hipótesis de que $\mu(E_{N})<\varepsilon$ para obtener ${\displaystyle{\bigg|\int_{E_{N}}|f|^{x}-|f|^{y}d\mu\bigg|<\varepsilon\big(\varphi(x)+\varphi(y)\big)}}$ Además, pensé que nuestra elección de $\delta>0$ nos permitirá mostrar ${\displaystyle{\bigg|\int_{X\backslash E_{N}}|f|^{x}-|f|^{y}d\mu\bigg|<\varepsilon\big(\varphi(x)+\varphi(y)\big)}}$ creo que puedo hacerlo solo, pero, si estoy en lo cierto, entonces mi dificultad surge con la primera integral... estoy perplejo. ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!
