Adaptación de una prueba sobre elementos de orden 2: de los grupos finitos a los grupos infinitos

Question

Considere el siguiente problema, apropiado para un primer curso de Teoría de Grupos:

Problema: Demostrar que no puede existir un grupo con exactamente dos elementos de orden $2$ .

Prueba general: Supongamos por contradicción que hay exactamente dos elementos de orden $2$ y denotarlos por $a$ y $b$ . Nota $ab \neq a, b, e$ para que $(ab)^2 \neq e$ o tendríamos un tercer elemento de orden $2$ . A partir de aquí, se puede demostrar que $aba \neq a, b, e$ y observe que $(aba)^2 = e$ lo que da un tercer elemento de orden $2$ . Contradicción.

Prueba de grupo finito: Dado un grupo finito $G$ podemos demostrar la afirmación de la siguiente manera:

Supongamos que $a, b \in G$ son los únicos elementos con orden $2$ . Observe $\{e, a\} \subset G$ es un subgrupo con $2$ elementos, por lo que (por el Teorema de Lagrange) $G$ tiene un número par de elementos.

Crear la tabla de Cayley para $G$ y consideremos la diagonal NO/SE, en la que $e$ aparecerá exactamente tres veces: $e*e, a*a,$ y $b*b$ . Para cualquier otro elemento cuyo producto sea $e$ aparecerán en la tabla por parejas: si $x*y = e$ para $x \neq y$ entonces $y*x = e$ también.

Así, el número total de $e$ 's en la tabla es impar: los tres de la diagonal más el número par que vienen de dos en dos. Pero el número de $e$ de la tabla deben ser pares: uno por cada fila, y hemos demostrado que $G$ tiene un número par de elementos. Contradicción.

Pregunta: ¿Puede adaptarse este último enfoque para cubrir el caso de los grupos infinitos?

Answer 1

Se puede demostrar que el subgrupo generado por $a$ y $b$ es finito, por lo que el problema se reduce al caso finito. Entonces, se aplica el mismo argumento.

Answer 2

Puede mostrar aún más, a saber:

Si un grupo $G$ contiene finitamente muchas involuciones, entonces contiene un número impar de ellas.

Aquí, una involución es un elemento de orden 2.

El caso finito es muy conocido, y se obtiene intentando emparejar elementos con sus inversos (y utilizando el hecho $|G|$ es par).

El caso infinito se deduce entonces del caso finito utilizando el lema de Dietzmann, que dice que si $X\subset G$ es un conjunto finito de elementos de orden finito, y $X$ es cerrado bajo conjugación en $G$ entonces $\langle X\rangle$ es un subgrupo finito de $G$ .