En el espacio euclidiano, el hiperboloide no es una superficie de curvatura constante (negativa). En su lugar, hay que considerar el hiperboloide en el espacio de Minkowski, por lo que el cambio en el producto interior modificará la fórmula.
P.D. De hecho, he comprobado que su fórmula es correcta. (Heurísticamente, podemos decir que es correcta porque es la forma del área de la esfera unitaria). $x^2+y^2+t^2=1$ en $\Bbb R^3$ y el hiperboloide en el espacio de Minkowski es el espacio simétrico dual a la esfera).
EDITAR : La fórmula habitual se obtiene observando que el elemento superficie $dS$ en $t=f(x,y)$ satisface $$dS = \frac1{|\cos\gamma|}dx\,dy,$$ donde $\gamma$ es el ángulo entre $xy$ -y el plano tangente de la superficie. Este ángulo es a su vez el ángulo entre los vectores normales unitarios, a saber $(0,0,1)$ y $\dfrac{(-f_x,-f_y,1)}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$ y la fórmula habitual del producto punto nos da $1/|\cos\gamma| = \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$ .
El problema en nuestra situación es que debido a que tanto el $xy$ -y nuestro hiperboloide son superficies espaciales, los vectores normales a ellas son temporales (es decir, tienen longitud negativa al cuadrado). Pero como la longitud al cuadrado del vector normal $(-f_x,-f_y,1)$ es ahora $f_x^2+f_y^2-1$ (que, de nuevo, es negativo), se podría adivinar que el factor apropiado será en cambio $\sqrt{1-f_x^2-f_y^2}$ . (La primera vez que deduje esto utilizaba formas diferenciales y el producto interior con el vector normal). He aquí una forma directa de hallar esto, y te dejaré que resuelvas los detalles. En lugar de usar el producto interior de los vectores normales unitarios, usemos el producto interior de dos vectores normales unitarios. como en el espacio vectores $v,w$ en los planos respectivos: Los dos planos tienen una línea en común, y tomemos $v$ y $w$ para ser vectores en los planos ambos ortogonales a esa línea. Tomemos $v=\big(f_x,f_y,0\big)$ y $w=\big(f_x,f_y,-(f_x^2+f_y^2)\big)$ (No me molesto en normalizar todavía), y, abracadabra, $$\dfrac1{\cos\gamma} = \dfrac{\sqrt{v\cdot v}\sqrt{w\cdot w}}{v\cdot w} = \sqrt{1-f_x^2-f_y^2}.$$ (Aquí $\cdot$ representa el producto interior $v\cdot w = v_1w_1+v_2w_2-v_3w_3$ .)
