Ecuación con funciones de Bessel

Question

Estoy atascado en el siguiente problema. Encontrar las soluciones de la ecuación $$J_0(x)-J_1(x)=0,$$ donde $J$ es la función de Bessel del primer tipo. ¿Existe algún método para resolverla de forma cerrada o tengo que encontrar las soluciones numéricamente?

Gracias.

Answer 1

No existe una expresión cerrada para el raíces de esta ecuación . Podemos decir algo sobre las raíces que un estudio numérico no nos dirá explícitamente.

Ampliar en grande $x$ . Encontramos $\frac{1}{\sqrt{16\pi x^3}}((8x-2)\cos x - \sin x) \sim 0,$ así que $$\tan x \sim 8x.$$ El lado derecho es grande por suposición, por lo que las raíces son $$\begin{equation*} x_n\approx \frac{(2n-1)\pi}{2},\tag{1} \end{equation*}$$ para $n\in\mathbb{N}$ . (Estas son las asíntotas verticales de $\tan x$ ). De hecho, esta aproximación funciona bien incluso para pequeños $n$ .

A continuación damos algunas de las raíces a seis dígitos.

$$\begin{array}{ccc} n & x_n & (2n-1)\pi/2 \\ \hline 1 & 1.43470 & 1.57080 \\ 2 & 4.68010 & 4.71239 \\ 4 & 10.9832 & 10.9956 \\ 8 & 23.5564 & 23.5619 \\ 16 & 48.6921 & 48.6947 \\ 32 & 98.9589 & 98.9602 \\ 64 & 199.491 & 199.491 \\ 128 & 400.553 & 400.553 \end{array}$$

Figura 1. Gráfico de $8x$ y $\tan x$ . Obsérvese que las curvas se cruzan aproximadamente en las asíntotas de $\tan x$ .