Supongamos que existe alguna condición A que sólo es verdadera si la condición 1 y la condición 2 son verdaderas. Ahora supongamos que hay algún resultado B y estoy tratando de demostrar A B. Puedo demostrar A B, pero para demostrar B A estoy tratando de demostrar ¬A ¬B. Ahora el problema es que si asumo que la condición 1 es falsa, y puedo demostrar que esto implica que B es falsa, ¿es esto suficiente para demostrar que ¬A ¬B? ¿O también tengo que demostrar que si la condición 2 es falsa entonces B es falsa?
Respuestas
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No, también necesitas el segundo. Considere la situación cuando
- La condición 1 es cierta
- La condición 2 es falsa
- B es falso
Voy a llamar a la condición 1 $P$ y condición 2 $Q$ en aras de la claridad.
Sabe lo siguiente (101) sobre $A$ .
$$ A \iff P \land Q \tag{101} $$
Esto significa que (102) también es cierto.
$$ (\lnot A) \iff (\lnot P) \lor (\lnot Q) \tag{102} $$ .
Usted está tratando de demostrar (103) a continuación, la contrapositiva de $B \implies A$ .
$$ (\lnot A) \implies (\lnot B) \tag{103} $$
Podemos subsittute para $\lnot A$ utilizando (102), obteniendo (104) a continuación.
$$ ((\lnot P) \lor (\lnot Q)) \implies (\lnot B) \tag{104} $$
Sustituyamos $\implies$ con disyunción y un argumento izquierdo negado, dando (105).
$$ (P \land Q) \lor (\lnot B) \tag{105} $$
Basándote en el siguiente pasaje, estás demostrando (106a-b) y preguntando si eso implica (105).
si asumo que la condición 1 es falsa, y puedo demostrar que esto implica que B es falso, ¿es esto suficiente para demostrar que ¬A ⇒ ¬B?
$$ (\lnot P) \implies (\lnot B) \tag{106a} $$
o equivalentemente
$$ P \lor (\lnot B) \tag{106b} $$
(106b) no implica (105) . Por ejemplo, si $P$ (condición 1) es cierta, $Q$ (condición 2) es falsa, y $B$ es falsa, entonces (106b) sería verdadera, pero (105) sería falsa.
Sin embargo, si también conocieras (107a-b), entonces podrías inferir (105).
$$ (\lnot Q) \implies \lnot B \tag{107a} $$
$$ Q \lor \lnot B \tag{107b} $$
saulspatz
Puntos
116
Si desea mostrar $\neg A \implies \neg B$ tiene que demostrar que siempre que $A$ falla, $B$ falla también. Hay dos formas de $A$ fallar: condición $1$ no se mantiene, o la condición $2$ no se sostiene. Así que, sí, hay que tratar ambos casos.
Dicho de otro modo, supongamos que la condición $1$ se cumple, pero la condición $2$ no lo hace. Su prueba tiene que lidiar con este caso.
Graham Kemp
Puntos
29085
Supongamos que existe alguna condición A que sólo es verdadera si la condición 1 y la condición 2 son verdaderas.
Puedo demostrar que A ⇒ B,
Así que tienes pruebas de que $\def\getsto{\leftrightarrow}A\getsto(C\wedge D)$ y $A\to B$ .
pero para demostrar B ⇒ A estoy tratando de demostrar ¬A ⇒ ¬B. Ahora el problema es si asumo que la condición 1 es falsa, y puedo demostrar que esto implica que B es falsa, ¿es esto suficiente para demostrar que ¬A ⇒ ¬B?
No.
Si $\lnot B$ es derivable de $\lnot C$ entonces $C$ debe ser derivable bajo un supuesto de $B$ . Sin embargo, una derivación de $C$ es insuficiente para derivar $C\land D$ y, por tanto $A$ no puede bajo el supuesto de $B$ sólo con la premisa dada.
¿O también tengo que demostrar que si la condición 2 es falsa, entonces B es falsa?
Sí. También necesita $\lnot B$ para ser derivable bajo un supuesto de $\lnot D$ .
