¿Qué significa estudiar la normalidad proyectiva de una variedad? ¿Qué relación tiene con la no singularidad y la racionalidad de una variedad?
Respuesta
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En primer lugar, permítanme subrayar que la normalidad proyectiva se define sólo para las variedades $X\subset \mathbb P^n$ incrustado en algún espacio proyectivo, no para una variedad abstracta.
Digamos que tal subvariedad es $k$ -normal ( $k\gt 0$ ) si el morfismo canónico $$\Gamma(\mathbb P^n,\mathcal O_{\mathbb P^n}(k))\to \Gamma(X,\mathcal O_X(k)) $$ es suryectiva.
Equivalentemente $H^1(\mathbb P^n,\mathcal I_X(k))=0$ donde $\mathcal I_X$ es la gavilla ideal que define $X$ .
La equivalencia se obtiene tomando el segmento apropiado de la secuencia exacta larga de cohomología asociada a $$0\to \mathcal I_X(k)\to O_{\mathbb P^n}(k)\to \mathcal O_X(k)\to 0 $$ y recordando que $H^1(\mathbb P^n, \mathcal O(k))=0$ .
Entonces $X$ se dice que es proyectivamente normal si es $k$ -normal para todos $k\gt 0$ y si es normal.
Por ejemplo, cualquier curva $X\subset \mathbb P^2$ de grado $d$ es $k$ -normal para todos $k\gt 0$ De hecho $$H^1(\mathbb P^2,\mathcal I_X(k))=H^1(\mathbb P^2,\mathcal O_{\mathbb P^2}(-d+k))=0$$
Por lo tanto, una curva plana proyectiva es proyectivamente normal si y sólo si es normal.
De forma más general, cualquier intersección completa normal en $\mathbb P^n$ es proyectivamente normal (lo contrario es falso: véase Editar más abajo).
Además, cualquier incrustación de Segre $\mathbb P^n\times \mathbb P^m\hookrightarrow \mathbb P^N$ es proyectivamente normal .
Sin embargo, una variedad proyectiva normal no es necesariamente proyectivamente normal: un ejemplo es la imagen $X\subset \mathbb P^3 $ de la incrustación $\mathbb P^1 \hookrightarrow \mathbb P^3:(u:v)\mapsto(u^4:u^3v:uv^3:v^4)$ .
Esta titulación $4$ curva no es uniforme $1$ -normal: el mapa lineal $\Gamma(\mathbb P^3,\mathcal O_{\mathbb P^3}(1))\to \Gamma( X,\mathcal O_X(1)) $ no es suryectiva porque la fuente tiene dimensión $4$ mientras que el objetivo tiene dimensión $h^0( X,\mathcal O_X(1)) =h^0(\mathbb P^1,\mathcal O(4))=5$ .
Edición: ¡precaución!
Acabamos de ver una copia incrustada no proyectivamente normal $X$ de $\mathbb P^1$ en $\mathbb P^3$ .
Pero la incrustación estándar $\mathbb P^1\hookrightarrow \mathbb P^3: (u:v)\mapsto(u^3:u^2v:uv^2:v^3)$ tiene como imagen una curva cúbica que es proyectivamente normal (¡aunque no es una intersección completa!): cf.Hartshorne Capítulo III, Ex.5.6.(b)(3) p.231, teniendo en cuenta que esta curva tiene bidegree (1,2) en la cuádrica $x_0x_3=x_1x_2$ en la que se encuentra.
Esto confirma que la normalidad proyectiva no es una propiedad intrínseca de una variedad proyectiva, sino que depende de la elección de una incrustación de la misma en $\mathbb P^n$ .
