Consideremos una secuencia $a_{1}=1$ y para cada $k>1$ entero $a_k=a_{k-1}+\dfrac{1}{a_{k-1}}$ .
a) ¿Cuántos números enteros positivos $n$ están ahí, satisfaciendo que $a_n$ ser un número entero?
b) Encuentra el límite (si existe) de la $a_k$ ¡Secuencia!
Por favor, ¡ayuda! Parece que para a) la respuesta es 2. ¡Gracias de antemano!
Demostremos que $$ 1 \le a_n \le n $$ Desde $a_1 = 1$ y $a_{n+1} > a_n$ tenemos claramente $a_n \ge 1$ . Podemos demostrar que $a_n \le n$ por inducción. Tenemos $a_1 = 1 \le 1$ y el paso de inducción es $$ a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n} \le n + \frac{1}{a_n} \le n + 1, $$ desde $a_n \ge 1$ .
Sobre la pregunta a). Si $a_n$ es un número entero, entonces $1/a_n$ es un número entero sólo si $a_n = 1$ . Eso nos da el caso $a_2 = 2$ . También por definición $a_1 = 1$ . No hay otros enteros en esta secuencia. Sea $a_n = \frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son coprimos y $q>1$ . Entonces $$ a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n} = \frac{p^2 + q^2}{pq}. $$ Así que debemos tener $p^2 + q^2 = m\cdot pq$ para algunos $m \in \mathbb{N}$ . Pero eso no es posible si $p$ y $q$ son coprimos, porque $q$ debe dividir $p^2$ y $q > 1$ . Por tanto, sólo hay dos índices ( $n=1,2$ ) para los que $a_n$ es entero.
En cuanto a la pregunta b). Dado que $$ a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n} \ge \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n-1}} + \ldots + \frac{1}{a_1} \ge \frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} + \ldots + 1 = H_n $$ donde $H_n$ es una serie armónica, que diverge claramente.
En el punto límite, $a_k=a_{k-1}$ Por lo tanto $a_{k-1}=a_{k-1}+\frac{1}{a_{k-1}}$ lo que implica $\frac{1}{a_{k-1}}=0$ que no puede existir, así que $a_{k-1}\to \infty$ al igual que $a_k$ .
Sea $a_{k-1}=\frac{x}{y}$ . Entonces: $a_k=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}$ .
$$\frac{x^2+y^2}{xy}\in \Bbb Z \iff x=y, \text{where} \frac{x^2+x^2}{x^2}=2$$ Desde $x\ne y$ para cada caso sucesivo (podemos deducirlo porque es una función creciente y tiende a $\infty$ ), sus únicos casos enteros son $a_1=1$ y $a_2=2$ .
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