Es ${\displaystyle \left\{{\frac{\varphi(n)}{n}},\;\;n\notin\mathbb{P}\right\}}$ denso en $(0,1)$ ?

Question

Sierpinski y Schinzel demostraron ${\displaystyle \left\{{\frac{\varphi(n)}{n}},\;\;n\in\mathbb{N}\right\}}$ es denso en el intervalo $(0,1)$ donde $n$ es un número natural y $\varphi(n)$ es la función totiente de Euler. https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_totient_function#Ratio_of_consecutive_values

¿Sigue siendo denso el conjunto en el mismo intervalo con la restricción añadida ${\displaystyle \left\{{\frac{\varphi(n)}{n}},\;\;n\notin\mathbb{P}\right\}}$ donde $\mathbb{P}$ denota el conjunto de los números primos?

Answer 1

Sí. Tenga en cuenta que $$\left\{{\frac{\varphi(n)}{n}},n\in\mathbb{N}\right\} = \left\{{\frac{\varphi(n)}{n}},n\in\Bbb{N} \setminus \mathbb{P}\right\} \cup \left\{\frac{n-1}{n} : n \in \Bbb{P}\right\}.$$ Este último conjunto sólo admite un único punto de acumulación: $1$ . Por lo tanto, si tomamos una secuencia de $\{\varphi(n)/n : n \in \Bbb{N}\}$ que converge a $x \in (0, 1)$ entonces sólo un número finito de términos secuenciales pueden pertenecer a $\{(n-1)/n : n \in \Bbb{P}\}$ por lo que la cola (infinita) de la secuencia debe pertenecer a $\{\varphi(n)/n : n \in \Bbb{N} \setminus \Bbb{P}\}.$

Answer 2

En general, si $A$ es un conjunto denso en $(0,1)$ y $a_n\in A$ es una secuencia tal que $a_n\to 1,$ entonces $A\setminus \{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ es denso en $(0,1).$

Esto se puede demostrar con bastante facilidad.

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Realmente no necesitas $a_n\to 1,$ sólo eso $a_n$ converge. Pero en tu caso, $a_n=\frac{\phi(p_n)}{p_n},$ converge a $1.$

Como he señalado en los comentarios, $\frac{\phi(p^k)}{p^k}=\frac{\phi(p)}{p},$ por lo que en realidad, ni siquiera está eliminando cualquier valor sólo por eliminar los primos $n$ . Pero si se eliminan los poderes primarios $n,$ puede utilizar el argumento anterior.