Aplicar el rango de la matriz $n-2$ ¿Cuántas ecuaciones se necesitan?

Question

Sea $M$ ser un $n\times n$ matriz cuyos coeficientes dependen de algunos parámetros (el número de parámetros no importa realmente). Para algunos valores de los parámetros, $M$ es no singular. Aplicación de $\mathrm{rank}(M)\leq n-1$ requiere resolver una única ecuación: $\det M =0$ .

Mi pregunta es, ¿cuántas ecuaciones se necesitan para hacer cumplir $\mathrm{rank}(M)\leq n-2$ (y cuáles)? Yo diría que, necesariamente, los cuatro $(n-1)\times (n-1)$ submatrices deben ser singulares, lo que da cuatro ecuaciones. Pero no parece ser una condición suficiente.

Answer 1

En el documento

W. Bruns y R. Schwänzl. El número de ecuaciones que definen una variedad determinista. Bull. London Math. Soc. 22 (1990), no. 5, 439-445.

encontrará que sobre un campo algebraicamente cerrado, el conjunto de $n \times n$ matrices de rango $< t$ para $1 \le t \le n$ puede definirse mediante $n^{2} - t^{2} + 1$ ecuaciones, y nada menos.

Así que en su caso, con $t = n-1$ necesitas $2 n$ ecuaciones.

Answer 2

Para matrices reales, la respuesta es uno, porque cualquier conjunto de $k$ ecuaciones polinómicas $p_1=\cdots=p_k=0$ es equivalente a la ecuación única $p_1^2+\cdots+p_k^2=0$ . Sin embargo, podemos construir explícitamente la ecuación polinómica que necesitamos aquí:

En $n\ge2$ un verdadero $n\times n$ matriz $A$ tiene rango $\le n-2$ si y sólo si sus entradas satisfacen th $$ \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A^TA)\right) = 0. $$

Esto se deduce fácilmente de los siguientes hechos:

• $A$ y $A^TA$ tienen rangos idénticos.
• Una matriz tiene rango $\le n-2$ si y sólo si su adyacente es cero.
• La matriz adjunta de una matriz semidefinida positiva es semidefinida positiva.
• Una matriz real semidefinida positiva es cero si y sólo si tiene traza cero.