Cómo distinguir entre lo natural y lo antinatural de equivalencias de categorías

Question

Algunas de las equivalencias de las categorías se construyen explícitamente dando un par de functors que son inversos a isomorfismo. Por ejemplo, la equivalencia entre CRing^op afines y de los esquemas está dada por el par (Spec, GlobalSections). Yo diría que estos son "naturales", ya que no se realizan las elecciones.

Otro de equivalencia de categorías entre finito dimensionales espacios vectoriales y la categoría que consta de un espacio vectorial de cada dimensión. El functor en una dirección es sólo la inclusión, pero a la inversa requiere hacer un montón de opciones. Yo diría que este es "antinatural".

Pero mi definición de "natural" y "artificial" no son precisas. Supongo que uno de los triunfos de la categoría de la teoría ha sido la capacidad para hacer precisa la definición de natural en algunos contextos. Así que mi pregunta es: ¿cómo puedo hacer este preciso?

Answer 1

Usted podría tratar de hacer que sea preciso por preguntar lo de las equivalencias siendo que si se priva a sí mismo de que el axioma de elección. El punto, creo, es que hay dos maneras de definir una equivalencia de categorías:

1. Un functor F: C --> D es un fuerte equivalencia si existe un functor G: D --> C y isomorphisms 1 --> GF, FG--> 1.

2. Un functor F: C --> D es un débil equivalencia si es completa, fiel y esencialmente surjective sobre los objetos.

Para demostrar que todos los fuertes de equivalencia es débil es sencillo y no requiere ningún tipo de opciones. Pero para demostrar que cada día más débil de equivalencia es fuerte, usted tiene que elegir para cada objeto D de D un objeto C de C tal que F(C) es isomorfo a D. Que requiere de una fuerte forma de que el axioma de elección: estás haciendo tantas opciones como hay objetos de D.

Por lo tanto, si usted trabaja en una lógica de instalación donde usted no tiene ningún axioma de elección, o sólo una forma débil de la misma, a continuación, algunas de las categorías que fueron previamente equivalente dejará de ser equivalente. Por ejemplo, la mayoría de las categorías no equivalentes a su esqueleto. (Usted menciona esto en el caso de finito-dimensional espacios vectoriales.) Tal vez se podría definir el natural equivalencias de aquellos que siguen equivalencias en este mundo sin elección.

Answer 2

Por otro lado Tom respuesta, la distinción entre el fuerte y el débil equivalencias desaparece si utiliza anafunctors en lugar de functors, que es sin duda la forma "correcta" de hacer de la categoría de la teoría en la ausencia de elección. Alguien que toma este punto de vista argumentan que el inverso (ana)functor de FDVect a la categoría de (digamos) Euclidiana espacios en realidad no implican ningún antinatural decisiones, porque cada vez que tienes que elegir algo, todas las cosas que usted tiene que elegir son los únicos canónicamente isomorfo.

Es precisamente análoga a como si una categoría C ha binario productos, usted necesita para hacer de un montón de "opciones" para definir un producto functor C × C → C, pero en cada caso la "categoría de las opciones posibles" es contráctiles y por lo que realmente no están haciendo ningún "contentful" opciones en todo. Y, de hecho, dependiendo de lo fundamental axioma del sistema que utiliza, el ejemplo de una "natural" de la equivalencia en realidad podría implicar que este tipo de "carente de contenido". El underying espacio de Spec R es un subconjunto de P(R) (el primer ideales), pero en una categoría de la teoría de conjuntos como ETCS, el poder-objeto P(R) es sólo caracteriza a isomorfismo.

Así, alguien que tiene este punto de vista se puede afirmar que la distinción que usted desea dibujar es en realidad una ilusoria.