¿Por qué la derivada del seno sólo funciona para los radianes?

Question

Todavía me cuesta entender por qué la derivada del seno sólo funciona para los radianes. Siempre había pensado que tanto los radianes como los grados eran unidades de medida arbitrarias, y ahora estoy descubriendo que he estado equivocado todo el tiempo. Supongo que cuando se diferencia el seno, el paso que sólo funciona para los radianes es cuando se sustituye $\sin(dx)$ con sólo $dx$ porque como $dx$ se acerca a $0$ entonces $\sin(dx)$ es igual a $dx$ porque $\sin(\theta)$ es igual a $\theta$ . ¿Pero no ocurre lo mismo con los títulos? Como $dx$ se acerca a $\theta$ grados entonces $\sin(dx \,\text{degrees})$ todavía se acerca $0$ . Pero he llegado a comprender que $\sin(dx \,\text{degrees})$ se acerca a $0$ casi $60$ veces más lento, por lo que si $\sin(dx \,\text{radians})$ puede sustituirse por $dx$ entonces $\sin(dx \,\text{degrees})$ tendría que ser sustituido por $(\pi/180)$ veces $dx$ grados.

Pero queda la pregunta de por qué funciona perfectamente para los radianes. ¿Cómo sabemos que podemos sustituir $\sin(dx)$ con sólo $dx$ sin ningún tipo de conversión aplicada como la que necesitamos para los títulos? No basta con decir que podemos ver que $\sin(dx)$ se acerca a $dx$ como $dx$ se hace muy pequeño. Matemáticamente podemos ver que $\sin(.00001)$ está muy cerca de $0.00001$ cuando usamos radianes. Pero digamos que tenemos una unidad de medida "sextos" donde hay $6$ de ellos en un círculo completo, bastante cerca de los radianes. También se vería como $\sin(dx \,\text{sixths})$ se acerca a $dx$ cuando se hace muy pequeño, pero sabemos que tendríamos que reemplazar $\sin(dx \,\text{sixths})$ con $(\pi/3) \,dx$ sexta al diferenciar. Entonces, ¿cómo sabemos que los radianes funcionan tan mágicamente, y por qué lo hacen?

He leído las respuestas a esta pregunta y he seguido los enlaces, y no, no responden a mi pregunta.

Answer 1

Los radianes, a diferencia de los grados, no son arbitrarios en un sentido importante.

La circunferencia de un círculo unitario es $2\pi$ un arco del círculo unitario subtendido por un ángulo de $\theta$ radianes tiene una longitud de arco de $\theta$ .

Con estas unidades "naturales", las funciones trigonométricas se comportan de una manera determinada. Especialmente importante es $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad\quad - (*)$$

Ahora estudia la derivada de $\sin$ en $x = a$ :

$$\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x-a} = \lim_{x \to a}\left( \frac{\sin\left(\frac{x-a}{2}\right)}{(x-a)/2}\cdot \cos\left(\frac{x+a}{2}\right)\right)$$

Este límite es igual a $$\cos a$$ precisamente por el límite $(*)$ . Y $(*)$ es bastante diferente en grados.

Answer 2

Me parece que la mejor respuesta hasta ahora es Simón S 's. Otros han insinuado la importante propiedad:

$$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$

Algunos se han limitado a afirmar que es importante con pocas razones en cuanto a por qué es importante (específicamente en lo que respecta a su pregunta sobre el derivado de $\sin(x)$ igualando el $\cos(x)$ ). Simón S La respuesta de la empresa explica por qué ese límite es importante para la derivada. Sin embargo, lo que encuentro a faltar es por qué es que el límite es igual a lo que es igual y qué sería es igual si decidimos usar grados en lugar de radianes.

En este punto, quiero reconocer que mi respuesta es esencialmente la misma que Simón S excepto que voy a entrar en detalles horripilantes.

Antes de entrar en esto, hay absolutamente nada mal con el uso de grados en lugar de radianes. Es se cambiar lo que es la definición de la derivada de las funciones trigonométricas, pero no cambiará cualquier de nuestras matemáticas sólo introduce un factor tedioso que siempre tenemos que cargar.

Voy a utilizar esta prueba geométrica como una forma de dar sentido al límite anterior:

Sólo hay un parte de la prueba que cambiará si decidimos utilizar grados en lugar de radianes y es cuando encontramos el área del sector subtendido por $\theta$ . Si utilizamos radianes obtenemos: $A_{AB} = \pi 1^2 * \frac{\theta}{2\pi} = \frac{\theta}{2}$ --tal como lo encontraron en la prueba dada. Si Sin embargo, Si utilizamos grados, obtendremos: $A_{AB} = \theta * \frac{\pi}{360}$ . Ahora esto cambia su desigualdad inicial en la que se basa el resto de la prueba:

$$ \frac{1}{2}\sin(\theta) \leq \frac{\pi \theta}{360} \leq \frac{1}{2}\tan(\theta) $$

(los otros no cambian porque el seno y las tangentes equivalen a lo mismo independientemente de si usamos radianes o grados -con una definición trigonométrica adecuada de cada uno, por supuesto).

Seguimos procediendo de la misma manera (voy a ser menos formal y a no preocuparme por los valores absolutos, aunque técnicamente deberíamos hacerlo). Dividimos todo por $\sin(\theta)$ que como sólo me preocupa el primer cuadrante no cambiará las direcciones de las desigualdades:

$$ \frac{1}{2} \leq \frac{\pi \theta}{360 \sin(\theta)} \leq \frac{1}{2\cos(\theta)}\\ \frac{360}{2\pi} \leq \frac{\theta}{\sin(\theta)} \leq \frac{360}{2\pi \cos(\theta)} \\ \frac{\pi}{180} \geq \frac{\sin(\theta)}{\theta} \geq \frac{\pi}{180}\frac{1}{\cos(\theta)} $$

Cuando conectamos $\theta = 0$ (ya sean radianes o grados) obtenemos $\cos(0) = 1$ y por lo tanto utilizamos el teorema del apretón para demostrar que:

$$ \frac{\pi}{180} \leq \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} \leq \frac{\pi}{180} $$

Por lo tanto, si usamos grados, entonces:

$$ \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = \frac{\pi}{180} $$

Volviendo a Simón S Esto da, como la definición de la derivada para $\sin(x)$ :

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h}\\ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \sin(h)\cos(x) - \sin(x)}{h} \\ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)\cos(x) + \sin(x)(\cos(h) - 1)}{h} $$

Esto puede ser un poco descuidado, pero cuando $h = 0$ $\cos(h) - 1 = 1 - 1 = 0$ Así que podemos dejar de lado la segunda parte y nos quedamos con:

*En realidad esto es extremadamente descuidado, en este punto me remitiría a Simón S Respuesta de la empresa

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h}\cos(x) = \cos(x)\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h} $$

Utilizando nuestro resultado anterior encontramos lo siguiente:

$$ \frac{d}{dx}\sin(x) = \frac{\pi}{180}\cos(x) $$

Esto es lo que la derivada de $\sin(x)$ es cuando usamos grados ¡! Y sí, esto funcionará bien en una serie de Taylor donde introducimos grados para el polinomio en lugar de radianes (aunque la serie de Taylor se se ve diferente).

Y es de esperar que ya te des cuenta de que esto es lo que el derivado de $\sin(x)$ es cuando usamos grados, porque si aceptamos que debe utilizar radianes, entonces debemos convertir nuestros grados a radianes:

$$ \sin(x^\circ) = \sin\left(\frac{\pi}{180}x\right) $$

Ahora usando la regla de la cadena obtenemos:

$$ \frac{d}{dx}\sin(x^\circ) = \frac{\pi}{180}\cos(x^\circ) $$

Así que la pregunta no es realmente por qué sólo funciona con radianes - funciona igual de bien con grados, excepto que tenemos una definición diferente de la derivada. La razón por la que preferimos los radianes a los grados es que los radianes no requieren este factor extra de $\frac{\pi}{180}$ cada vez que diferenciamos una función trigonométrica.

Answer 3

Funciona precisamente porque $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,$$ lo que a su vez ocurre precisamente porque hemos elegido que nuestro ángulo sea igual a la longitud del arco alrededor de un círculo unitario (y para ángulos pequeños, el arco es esencialmente una línea recta).

Answer 4

Puede ser útil olvidar, sólo brevemente, que el seno y el coseno tienen algo que ver con los triángulos. En su lugar, veámoslos desde esta perspectiva:

Que la función $s(x)$ sea la única función con la propiedad de que $s''(x) = -s(x)$ tal que $s(0) = 0$ y $s'(0) = 1$ . Así que es una función que, al diferenciarla dos veces, da la misma función con un cambio de signo, y la línea $y = x$ es la tangente a la función en $x = 0$ .

Del mismo modo, dejemos que $c(x)$ sea la única función que $c''(x) = -c(x)$ , $c(0) = 1$ y $c'(0) = 0$ .

Son funciones perfectamente útiles. Proporcionan una base para las ecuaciones del movimiento armónico simple, están relacionadas entre sí (porque se puede demostrar que $s'(x) = c(x)$ ), están relacionados con la función exponencial a través de los números complejos, etc.

Y resulta que son exactamente las funciones seno y coseno definidas en radianes. Al igual que elegimos el valor de $e$ para que $\frac{d}{dx} e^x = e^x$ Si se elige trabajar en radianes, se obtienen esas bonitas derivadas.

Answer 5

Creo que tu confusión se debe a una percepción errónea de "seno" y "ángulo". Tendemos a pensar que las unidades en las que medimos un ángulo (grados, radianes, grados o lo que sea) son independientes de la función seno. En realidad, no es así: el seno de un ángulo medido en grados y el seno de un ángulo medido en radianes son dos funciones diferentes .

Como tal, es perfectamente razonable sospechar que tienen diferentes tasas de cambio (derivadas).

De hecho, es sólo la función "seno de un ángulo medido en radianes" que tiene una pendiente (tasa de cambio) de $1$ en el origen: para ver esto, supongamos que consideramos la función

$f(x) = \sin(ax)$ , donde $x$ se mide en radianes, y $a$ es algún factor de conversión de unidades (para los grados tenemos: $a = \frac{180}{\pi}$ ).

Tomando la derivada, tenemos (por la regla de la cadena):

$f'(x) = \cos(ax)\cdot a$ y por lo tanto: $f'(0) = \cos(0)\cdot a = a$ que es igual a $1$ sólo cuando $a = 1$ .